Доказательство утверждения, частным случаем которого является великая теорема Ферма

Часть 2

Возможны случаи: либо , либо .

**********

Последнее утверждение (либо , либо ) в дальнейшем будем на

зывать «исключением» из общего правила.

*********

Часть первая(Утверждения 1)

Уравнение (,- натуральные числа, где при - натуральном) не имеет решений в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и таких, чтобы - было четным, и - нечетными целыми числами.

Доказательство

Понятно, что доказательство достаточно рассмотреть для - простого.

Докажем данное «Утверждение 1» методом от противного. Предположим, что уравнение разрешимо в отличных от нуля попарно взаимно простых целых числах , и . И если в конце доказательства мы придем к противоречию, доказав, что числа , и не являются попарно взаимно простыми целыми числами, то это будет означать, что «Утверждение 1» справедливо.

Из уравнения (1) следует:

(2),

где - четное целое число, т.к. и - нечетные;

≠ 0, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю;

- нечетное целое число при и - нечетных, - простом.

********

Примечание

То, что - нечетное число при и - нечетных, хорошо известный факт в теории чисел.

Для подтверждения данного факта достаточно использовать разложение бинома

Ньютона , , , … и тогда получим для :

- сумму трех нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для :

- сумму пяти нечетных слагаемых, равную нечетному числу.

Для степени - простой можно доказать, что при и нечетных

(3) - сумма нечетных слагаемых, равная нечетному числу (Алексеев С.Ф. Два обобщения классических формул // Квант. – 1988. - №10. – С. 23).

*******

Пусть (4),

где - нечетное число (на основании (3)).

Тогда уравнение (2) примет вид:

(5),

где - четное число, которое можно представить в виде

(6),

где - целое число (при = 0 а = 0, что противоречит нашему допущению),

(4) – нечетное число.

Тогда из соотношения (5) с учетом (6) получаем:

, т.е. (7), где - целое число (), - натуральное число.

Сумму же нечетных чисел и обозначим через , т.е.

(8),

где - целое число (, т.к. и - взаимно простые нечетные целые числа, не равные нулю).

Из (7) и (8) определим и :

=> =>

 Скачать реферат