Разработка модели обучения школьному курсу стереометрии на модульной основе

21. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВМ. Известно, что ÐМВА= ÐМВС=90°, МВ=m, АВ=n. Найдите расстояния от точки М до: а) вершин квадрата; б) прямых АС и ВD.

22. Докажите, что если одна из двух параллельных плоскостей перпендикулярна прямой, то и другая плоскость перпендикулярна этой прямой.

23. Докажите, что если точка Х равноудалена от концов данного отрезка АВ, то

она лежит в плоскости, проходящей через середину отрезка АВ и перпендикулярной к прямой АВ.

24. Докажите, что через каждую из двух взаимно перпендикулярных скрещивающихся прямых проходит плоскость, перпендикулярная к другой прямой.

25. Из некоторой точки проведены к данной плоскости перпендикуляр и наклонная, угол между которыми равен φ. Найдите наклонную и ее проекцию на данную плоскость, если перпендикуляр равен d. Найдите перпендикуляр и проекцию наклонной, если наклонная равна m.

26. Из точки А, не принадлежащей плоскости α, проведены к α перпендикуляр АО и две равные наклонные АВ и АС. Известно, что ÐОАВ=ÐВАС=60°, АО=1,5 см. Найдите расстояние между основаниями наклонных.

27. Один конец данного отрезка лежит в плоскости α, а другой находится от нее на расстоянии 6 см. Найдите расстояние от середины данного отрезка до плоскости α.

28. Расстояние от точки М до каждой из вершин правильного треугольника АВС=4 см. Найдите расстояние от точки М до плоскости АВС, если АВ=6 см.

29. Прямая а пересекает плоскость α в точке М и не перпендикулярна к этой плоскости. Докажите, что в плоскости α через точку М проходит прямая, перпендикулярная к прямой α, и притом только одна.

30. Из точки М проведен перпендикуляр МВ к плоскости прямоугольника ABCD. Докажите, что треугольники АМD и МСD прямоугольные.

31. Прямая АК перпендикулярна к плоскости правильного треугольника АВС, М – середина стороны ВС. Докажите, что МК^ВС.

32. Отрезок АD перпендикулярен к плоскости равнобедренного треугольника АВС. Известно, что АВ=АС=5 см, ВС=6 см, АD=12 см. Найдите расстояния от концов отрезка АD до прямой ВС.

33. Прямая СD перпендикулярна к плоскости треугольника АВС. Докажите, что: а) треугольник АВС является проекцией треугольника АВD на плоскость АВС; б) если СH – высота треугольника АВС, то DH – высота треугольника АВD.

34. Через вершину В квадрата АВСD проведена прямая ВF, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки F до прямых, содержащих стороны и диагонали квадрата, если ВF=8 дм, АВ=4 дм.

35. Через вершину прямого угла С равнобедренного прямоугольного треугольника АВС проведена прямая СМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояние от точки М до прямой АВ, если АС=4 см, а СМ=2Ö7 см.

36. Через вершину В ромба АВСD проведена прямая ВМ, перпендикулярная к его плоскости. Найдите расстояния от точки М до прямых, содержащих стороны ромба, если АВ=25 см, ÐВАD=60°, ВМ=12,5 см.

37. Прямая ВМ перпендикулярна к плоскости прямоугольника АВСD. Докажите, что прямая, по которой пересекаются плоскости АDМ и ВСМ, перпендикулярна к плоскости АВМ.

38. Луч ВА не лежит в плоскости неразвернутого угла СВD. Докажите, что если ÐАВС=ÐАВD, причем ÐАВС<90°, то проекцией луча ВА на плоскость СВD является биссектриса угла СВD.

39. Под углом j к плоскости a проведена наклонная. Найдите j, если известно, что проекция наклонной вдвое меньше самой наклонной.

40. Из точки А, удаленной от плоскости γ на расстояние d, проведены к этой плоскости наклонные АВ и АС под углом 30° к плоскости. Их проекции на плоскость γ образуют угол в 120°. Найдите ВС.

41. Неперпендикулярные плоскости a и b пересекаются по прямой МN. В плоскости b из точки А проведен перпендикуляр АВ к прямой МN и из той же точки А проведен перпендикуляр АС к плоскости a. Докажите, что ÐАВС – линейный угол двугранного угла АМNС.

42. Двугранный угол равен j. На одной грани этого угла лежит точка, удаленная на расстояние d от плоскости другой грани. Найдите расстояние от этой точки до ребра двугранного угла.

43. Даны два двугранных угла, у которых одна грань общая, а две другие являются различными полуплоскостями одной плоскости. Докажите, что сумма этих двугранных углов равна 180°.

44. Гипотенкза прямоугольного равнобедренного треугольника лежит в плоскости a, а катет наклонен к этой плоскости под углом 30°. Найдите угол между плоскостью a и плоскостью треугольника.

45. Катет АС прямоугольного треугольника АВС с прямым углом С лежит в плоскости a, а угол между плоскостями a и АВС равен 60°. Найдите расстояние от точки В до плоскости a, если АС=5 см, АВ=13 см.

46. Через сторону АD ромба АВСD проведена плоскость АDМ так, что двугранный угол ВАDМ равен 60°. Найдите сторону ромба, если ÐВАD=45° и расстояние от точки В до плоскости АDМ равно 4Ö3.

47. Докажите, что плоскость, перпендикулярная к прямой, по которой пересекаются две данные плоскости, перпендикулярна к каждой из них.

48. Докажите, что плоскость и не лежащая в ней прямая, перпендикулярные к одной и той же плоскости, параллельны.

49. Плоскости a и b взаимно перпендикулярны и пересекаются по прямой а. Из точки М проведены перпендикуляры МА и МВ к этим плоскостям. Прямая а пересекает плоскость АМВ в точке С. Докажите, что четырехугольник АСВМ является прямоугольником. Найдите расстояние от точки М до прямой а, если АМ=m, ВМ=n.

50. Плоскости a и b пересекаются по прямой а и перпендикулярны к плоскости g. Докажите, что прямая а перпендикулярна к плоскости g.

51. Общая сторона АВ треугольников АВС и АВD равна 10 см. Плоскости этих треугольников взаимно перпендикулярны. Найдите СD, если треугольники: а) равносторонние; б) прямоугольные равнобедренны с гипотенузой АВ.

52. Найдите диагональ прямоугольного параллелепипеда, если его измерения равны 1,1,2.

53. Найдите расстояние от вершины куба до плоскости любой грани, в которой не лежит эта вершина, если диагональ грани куба равна m.

54. Дан куб ABCDA1B1C1D1. Найдите следующие двугранные углы: а) ABB1С; б) ADD1B; в) A1BB1К, где К – середина ребра A1D1.

55. Найдите тангенс угла между диагональю куба и плоскостью одной из его граней.

56. Ребро куба равно а. Найдите расстояние между скрещивающимися прямыми, содержащими диагональ куба и диагональ грани куба.

57. Найдите измерения прямоугольного параллелепипеда ABCDA1B1C1D1, если АC1=12 см и диагональ ВD1 составляет с плоскостью грани AA1 D1D угол в 30°, а с ребром DD1 – угол в 45°.

58. Из точек А и В, лежащих в двух перпендикулярных плоскостях, опущены перпендикуляры АС и ВD на прямую пересечения плоскостей. Найдите длину отрезка АВ, если АС=6 см, ВD=7 см, СD=6 см.

59. Точка находится на расстояниях а и b от двух перпендикулярных плоскостей. Найдите расстояние от этой точки до прямой пересечения плоскостей.

60. Из вершин А и В равностороннего треугольника АВС восставлены перпендикуляры АА1 и ВВ1 к плоскости треугольника. Найдите расстояние от вершины С до середины отрезка A1B1, если АВ=2 см, СА1=3 см, СВ1=7 см и отрезок A1B1 не пересекает плоскость треугольника.

 Скачать реферат