Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Соответствие функций u(x) и uh можно установить различными способами, например,

uh=u(x), x wh.

В дальнейшем мы будем пользоваться этим способом соответствия.

В линейном пространстве Hh введем норму Hh, которая является аналогом нормы src="images/referats/8123/image011.png">Н в исходном пространстве Н. Обычно принято выбирать норму в пространстве Hh так, чтобы при стремлении к нулю h она переходила в ту или иную норму функций, заданных на всем отрезке, т.е. чтобы выполнялось условие

Hh=H, (2)

где Н- норма в пространстве функций, определенных на отрезке, которому принадлежит решение.

Условие (2) называют условием согласования в пространствах Hh и Н.

Рассмотрим простейшие типы норм в Hh для случая сеток

wh={xi=i∙h} на отрезке 0≤x≤1.

1. Норма Hh=

удовлетворяет условию (2), если в качестве Н рассматривать пространство непрерывных функций с нормой

H=, H=[a,b],

а сеточную функцию определять в виде (2), т.е.

yh(x)=uh(x), x wh

2. Норма Hh=

удовлетворяют условию (2), если за Н принять пространство непрерывных функций с нормой

H=u2(x)dx, H=C[a,b] ,

а сеточную функцию определять в виде

yh=uh(x), x wh.

1.3 Аппроксимация дифференциальных операторов

Пусть имеем дифференциальный оператор

Этот оператор можно аппроксимировать несколькими способами. Например,

- правая разностная производная; (3)

- левая разностная производная; (4)

- центральная разностная производная; (5)

Можно взять их линейную комбинацию

, (6) где у- вещественный параметр.

При у=1 из (6) получаем аппроксимацию (3); при у=0 – аппроксимацию (4), а при у=0.5- аппроксимацию (7).

Чтобы показать погрешность аппроксимации, разложим по формуле Тейлора

предполагая, что функция v(x) достаточно гладкая в некоторой окрестности (x-h0,x+h0) точки х, h<h0,h0- фиксированное число.

Подставляя это разложение в (3),(4),(5), получим:

Отсюда видно, что

Пусть L- дифференциальный оператор, Lh- разностный оператор, заданный на сетке wh. Говорят, что разностный оператор Lh:

1) аппроксимируем дифференциальный оператор L в узле xi wh, если

, где v(x)- достаточно гладкая функция, стремится к нулю при h→0;

2) аппроксимируем L с порядком n >0 в узле xi wh если , т.е.

, M=const>0.

В качестве следующего примера рассмотрим оператор .

Для аппроксимации этого оператора используем трехточечный шаблон (x-h, x, x+h).

Замечая , имеем

Отсюда

Пользуясь разложением (7), покажем, что порядок аппроксимации равен двум, т.е.

так как

1.4 Разностная схема

Как правило, дифференциальное уравнение решается с некоторыми дополнительными условиями - начальными (задача Коши), краевыми (краевая задача) либо и с начальными, и с краевыми условиями (смешанные задачи). Эти дополнительные условия при переходе к разностным уравнениям надо так же аппроксимировать.

Пусть имеем некоторую дифференциальную задачу, записанную в виде

Lu=f(x), xG (8)

с дополнительным условием

lu=ц(x), xГ. (9)

Введем в области Г сетку

и поставим в соответствие задаче (8), (9) разностную задачу

Lhyh=fh, xwh, (10)

Lhyh=цh, xгh. (11)

Функция yh(x), fh(x), цh(x) зависят от шага сетки. Меняя h, получаем множества функций {yh}, {fh}, {цh}, зависящих от параметра h. Таким образом, мы рассматриваем не одну разностную задачу, а семейство задач, зависящее от параметра h. Это семейство задач называется разностной схемой.

Рассмотрим примеры разностных схем, аппроксимирующих дифференциальные задачи.

Пример 1. Имеем задачу Коши

, 0<x≤1, л = const

.

Используем аппроксимации:

;

 Скачать реферат