Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

Множитель при л > 0. Выражая zi через z0, имеем

Отсюда │zi│≤ M∙h, т.е. схема имеет первый порядок точности. Таким же образом можно показать, что схема с весом

width=236 height=43 src="images/referats/8123/image102.png">

имеет первый порядок аппроксимации и при выполнении условий устойчивости имеет место сходимость и притом порядок точности совпадает с порядком погрешности аппроксимации.

1.7 Неравномерная сетка

1.7.1 Построение сеточной области

Пусть исходная область ={}. Ее аппроксимируем сеточной областью:

, - средний шаг}- сетка по х;

, - средний шаг}- сетка по t;

Тогда искомая сетка есть - неравномерная сетка.

На этой сетке аппроксимируем дифференциальные операторы:

- правая разностная производная по х; (1)

-сеточная функция;

- левая разностная производная по х; (2)

- центральная разностная производная по х; (3)

- аппроксимация с весом ; (4)

Аппроксимация первой производной по t имеет вид:

- правая разностная производная по t; (5)

- левая разностная производная по t; (6)

- центральная разностная производная по t; (7)

Аппроксимация второй производной по х и по t имеет вид:

; (8)

; (9)

Покажем погрешность аппроксимации первой производной по х.

Для этого введем функцию погрешности решения Найдем и подставим в (1).

Имеем = ,

Функцию разложим по формуле Тейлора

,

и подставим в Имеем

,

отсюда получаем аппроксимацию первого порядка .

1.7.2 Формирование сетки

I вариант

, (1)

, q>1-возраст.геометр.прогрессия

, q<1-убыв.геометр.прогрессия

1) , (2)

, q>1. (3)

2) , (4)

, q<1. (5)

и - задаем сами.

Пример Пусть

q>1 и по формуле (3) n

Пример Пусть

вычисляем по формуле (5)

Действительно

II вариант

Можно использовать другой подход:

, , ,

,

, .

a) , q<1 - убывающая геом. прогрессия n и q-задаем сами.

в) , q>1 – возрастающая геом. прогрессия.

Таким образом, можно рассматривать следующие модули сеток:

1) Равномерная сетка .

2) Квазиравномерная сетка (…).

3) Неравномерная по возрастающей геометрической прогрессии .

4) Неравномерная по убывающей геометрической прогрессии .

5) Среднеарифметический метод 3) и 4) .

 Скачать реферат