Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

.

После этого имеем разностную схему:

Расчетный алгоритм имеем вид

Пример 2. Рассмотрим задачу Коши.

Воспользуемся следующими аппроксимациями:

После этого имеем разностную схему

1.5 Корректность разностной схемы

Пусть имеем дифференциальную задачу

, (12)

(13) и на сетке аппроксимируем ее разностной схемой

(14)

(15)

Задача (12), (13) поставлена корректно, если выполнены условия:

1) задача однозначно разрешима при любых правых частях

2) решение задачи непрерывно зависит от правых частей т.е.

H ≤ M1∙H +M2∙H.

Аналогично определяется понятие корректности разностной схемы (14), (15). Говорят, что разностная схема (14), (15) корректна, если при всех достаточно малых │h│< h0:

1) решение yh разностной схемы существует и единственно для всех входных данных f hHh, цh Hh;

2) существуют постоянные M1>0, M2>0 не зависящие от h и такие, что при любых f h Hh, цh Hh справедлива оценка

Hh ≤ M1∙Hh +M2∙Hh. (16)

Свойство 2), означающее непрерывную зависимость, равномерную относительно h, решения разностной схемы от правых частей, называется устойчивостью разностной схемы. Рассмотрим примеры.

Пример 1. Пусть имеем задачу:

(17)

Точным решением задачи (17) является функция

Если ввести новую функцию то получим задачу

(18)

Решением задачи (18) является функция

Задачу (18) аппроксимируем на равномерной сетке = {xi=ih, i=0,n} схемой:

(19)

Перепишем схему (19) в виде

Отсюда имеем

Рассмотрим фиксированную точку и выберем последовательность сеток таких, чтобы = i0 ∙ h, т.е. является узлом сетки при h→0.

Вычислим значение у в этой точке y() = yi0=si0y0. Так как │s│< 1 при б>0

и любых h, то│ y()│≤│si0│∙│y0│< │y(0)│ при любом h. Из этого

неравенства видно, что решение разностной схемы (19) непрерывно зависит от вход€ных данных. В таких случаях говорят, что разностная схема устойчива по входным данным (по начальным условиям и по правой части).

Пример 2. Имеем уравнение

, (20)

Точным решением задачи (20) является функция

Отсюда следует неравенство

, (21)

при л>0.

Для устойчивости вычислительных алгоритмов решения задачи (20) должно быть выполнено условие вида (21) т.е.

(22)

Задачу (20) аппроксимируем явной схемой Эйлера

(23)

.

Выражая решение схемы (23) через начальное условие, имеем

Неравенство (22) будет выполнено, если

т.е. .

Таким образом, явная схема Эйлера условно устойчива.

Пример 3. Для численного решения задачи (20) используем неявную схему Эйлера

(24)

Отсюда

т.е.

 Скачать реферат