Разностные схемы для уравнения переноса на неравномерных сетках

при

Схема (24) абсолютно устойчива, ибо выполнено условие (22) при любом h.

Пример 4. Задачу (20) аппроксимируем схемой с весом

(25)

Отсюда имеем

Условие (22) будет выполнено, если

т.е

Отсюда получаем

Схема абсолютно устойчива при

и

т.е. схема (25) условно устойчива при

1.6 Аппроксимация и сходимость

Для того, чтобы выяснить, с какой точностью приблизили функцию u=u(x) с помощью функции y(x), мы должны их сравнить. Пусть uh значение функции u(x) на сеточной области , т.е. uh Hh.

Рассмотрим погрешность решения разностной схемы (14), (15), которая аппроксимирует на сетке дифференциальную задачу (12), (13).

Введем функцию погрешности решения

zh = yh –uh,

где yh – решение схемы (14), (15), uh- решение задачи (12), (13) на сетке ͞wh. Подставив yh = zh +uh в линейную задачу (14), (15), получим для zh задачу того же вида, что и (14), (15):

(26)

(27)

(28)

Функции (28) называются погрешностью аппроксимации задачи (12), (13), схемой (14), (15) на решение задачи (12), (13).

Будем говорить, что решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению задачи (12), (13), если

Hh = Hh → 0 при h→0.

Разностная схема сходится со скоростью О(hn) или имеет n-ый порядок точности, если при достаточно малом h ≤ h0 выполняется неравенство

Hh =Hh≤ M ∙ hn,

где M > 0, не зависит от h, n > 0.

Говорят, что разностная схема имеет n-ый порядок аппроксимации, если

шh = O(hn),

т.е≤ M∙hn.

Теорема. Пусть дифференциальная задача (12), (13) поставлена корректно, разностная схема (14), (15) является корректной и аппроксимирует исходную задачу (12), (13). Тогда решение разностной схемы (14), (15) сходится к решению исходной задачи (12), (13), причем порядок точности совпадает с порядком аппроксимации.

Доказательство.Если схема (14), (15) корректна, то не трудно получить оценку погрешности решения через погрешность аппроксимации (28).

Задача (26), (27) аналогична задаче (14), (15), поэтому для нее пользуясь априорной оценкой вида (16), получим оценку

Hh = Hh≤ M1Hh + M2Hh. (29)

Таким образом, если схема (14), (15) корректна и аппроксимирует задачу (12), (13), то она сходится при h→0. Норма погрешности ‖zh‖Hh→0 при h→0, если Hh→0 и Hh→0 при h→0.

Из оценки (28) видно, что порядок точности схемы (14), (15) определяется порядком аппроксимации, и чтобы схема сходилась со скоростью O(hn), n>0 достаточно, чтобы она имела аппроксимацию того же порядка, т.е.

Hh = О(hn), Hh = O(hn).

Рассмотрим примеры.

Пример 1. Рассмотрим явную схему Эйлера

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Покажем порядок погрешности аппроксимации и сходимость.

Рассмотрим функцию погрешности решения

Для zi получаем схему:

(30)

Разложим ui+1 по формуле Тейлора в точке xi, имеем

(31)

Подставляя (31) в шi, получим

т.е. имеем порядок аппроксимации. Из (30) имеем

При имеем Выражая zi через z0, получим:

Отсюда видно, что при h→0, │zi│→0. Для точности схемы имеем

│zi+1│≤ h∙│шs│≤ h ∙ i ∙ O(h) = xi∙O(h) ≤ M ∙ h,

т.е. схема имеет первый порядок точности.

Пример 2. Рассмотрим неявную схему Эйлера

,

которая аппроксимирует дифференциальную задачу (20). Для погрешности решения zi = yi –ui получаем разностную схему:

Подставляя разложение (31) в шi , получим

Отсюда имеем

т.е. первый порядок аппроксимации. Для сходимости рассмотрим решение задачи для zi:

 Скачать реферат