Методика изучения свойств прямоугольного треугольника в курсе геометрии 7-8 классов

Методические рекомендации к изучению темы «Прямоугольный треугольник»

Введение прямоугольного треугольника, свойства и признаки равенства прямоугольных треугольников

Назначение параграфа – дать методические рекомендации к изучению «Прямоугольного треугольника», таких тем как введение прямоугольного треугольника, некоторые свойства прямоугольных треугольников, признаки их равенства. Пр

едлагается возможная последовательность решения задач.

На изучение данных тем отводится пять часов.

В результате изучения учащиеся должны: владеть понятием «прямоугольного треугольника»; знать названия его сторон; знать, что у него один угол прямой и два острых и что сумма острых углов равна 90º; уметь по чертежу или словесным данным сделать заключение о том, какие стороны прямоугольного треугольника являются катетами и гипотенузой (например, если дано, что в треугольнике ABC угол B прямой, то стороны BA и BC – катеты, а AC – гипотенуза); знать формулировки и доказательства некоторых свойств прямоугольного треугольника и специальных признаков равенства прямоугольных треугольников; уметь применять их в решении задач.

Наблюдения за работой учителей математики приводят к выводу о том, что формирование математических понятий в школе не вписывается в чистом виде не в одну из логических систем образования понятия.

Опишем методические требования к формированию понятия. Начальным этапом является мотивация. Сущность этого этапа заключается в подчёркивании важности изучения понятия, в побуждении школьников к целенаправленной и активной деятельности, в возбуждении интереса к изучению понятия. Мотивация может осуществляться как посредством привлечения средств нематематического содержания, так и в ходе выполнения специальных упражнений, объясняющих необходимость развития математической теории.

Определение понятия – это перечисление характерных, основных, необходимых и достаточных признаков понятия.

Вводя понятие прямоугольного треугольника, мы акцентируем внимание на то, что данная тема проходит сквозь многие темы курса геометрии. Очень часто прямоугольный треугольник используется при решении задач, используются свойства и признаки равенства и подобия прямоугольных треугольников. Понятие прямоугольного треугольника не определяется, это понятие принимается как факт. Выделяются отличительные свойства треугольника через указание его отличий в происхождении. Прямоугольный треугольник – это треугольник, у которого есть прямой угол.

Определение должно быть сокращенным, конкретным. Не должно быть отрицательным. Процесс конструирования понятия протекает как поиск необходимых условий, которые достаточны.

Следующий этап – выявление существенных свойств понятия, которые соответствуют его определение. Он реализуется в основном посредством упражнений, основное назначение которых на этом этапе заключается в выделении существенных свойств изучаемого понятия и акцентирование на них внимания учащихся.

На первом уроке надо ввести понятие прямоугольного треугольника, дать понятие сторонам треугольника. При решении многочисленных задач, связанных с прямоугольными треугольниками, от учащихся потребуется особое владение понятиями «катет» и «гипотенуза» прямоугольного треугольника. Введение названий сторон прямоугольного треугольника необходимо сопровождать устными упражнениями, направленными на их запоминание и распознавание на чертеже. С этой целью можно предложить следующие задания:

Отрезки AB и CD пересекаются под прямым углом в точке O. Назовите гипотенузы и катеты прямоугольных треугольников AOC и BOD.

В треугольнике MNK проведена высота KD. Назовите получившиеся при этом прямоугольные треугольники, их гипотенузы и катеты.

Утверждения об углах прямоугольного треугольника, являясь прямыми следствиями из теоремы о сумме углов треугольника, чрезвычайно просто доказываются. Их доказательства можно предложить провести учащимся самостоятельно.

Один из углов прямоугольного треугольника равен: а) 20º; б) 30º; в) 45º. Найти второй острый угол треугольника.

Определите острые углы прямоугольного треугольника, если один из них в 2 раза больше другого.

Далее рассмотреть свойства прямоугольного треугольника. Изучение пункта 34 о свойствах прямоугольного треугольника» можно начать с решения задачи 254 и 255. После этого рассмотреть свойство 1, которому следует уделить особое внимание (катет прямоугольного треугольника, лежащего против угла в 30º, в два раза меньше гипотенузы). Так как учащиеся будут использовать его при решении задач, а в дальнейшем – при получении значений тригонометрических функций углов 30° и 60°. Использование этого свойства можно показать на примере задачи 265. Доказательство свойств 2 и 3 следует провести учителю самому с записью условия и заключения прямого и обратного утверждений на доске в виде таблицы. Эту таблицу учащиеся должны воспроизвести в своих тетрадях.

Затем рекомендуется решить задачи 257, 259, 260.

Перед доказательством специальных признаков равенства треугольников полезно вспомнить общие признаки, но не отвлечённо, применительно к прямоугольным треугольникам. Это можно сделать, предложив, например, устно по готовому рисунку провести доказательства:

1. Докажите, что если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого, то такие треугольники равны.

2. Докажите, что два прямоугольных треугольника ABC и A1B1C1 с прямым углом C и C1 равны, если у них равны катеты BC B1C1 и прилежащие к ним острые углы: <B и <B1.

После выполнения задачи 2 можно сделать замечание о том, что если в прямоугольных треугольниках ABC и A1B1C1 <A = <A1, то и <B = <B1, так как углы B B1 дополняют до 90º равные углы A и A1. А значит, можно доказать равенство этих треугольников по катету и противолежащему острому углу.

Следует также сказать, что этот признак и ещё два признака, которые могут рассматриваться далее, являются специальными признаками прямоугольных треугольников.

Доказательство этого признака можно предложить учащимся провесит самостоятельно.

Сформулировать признак равенства прямоугольных треугольников по гипотенузе и острому углу, учитель может и его предложить учащимся доказать самостоятельно.

Закрепить доказанные признаки можно а ходе выполнения заданий.