Методика изучения свойств прямоугольного треугольника в курсе геометрии 7-8 классов

Рефераты / Педагогика / Методика изучения свойств прямоугольного треугольника в курсе геометрии 7-8 классов

В качестве домашнего задания учитель может поручить ознакомиться с доказательством, данным в учебнике.

Но цепь вопросов, связанных с зависимостью сторон прямоугольного треугольника, может быть продолжена.

Спросим прежде всего: «Справедлива ли теорема Пифагора для непрямоугольных треугольников?» – Очевидно, нет, так как две стороны треугольника a и b не определяют однозначно его форму, а

третья сторона меняет свою длину в зависимости от значения угла между сторонами a и b так, что a – b < c< a + b (при b < a).

Следующая проблема: «Верна ли обратная теорема, обратная теореме Пифагора?»

Если квадрат большей стороны равен сумме квадратов двух других сторон, то треугольник прямоугольный, а именно: прямым является угол, лежащий против этой большой стороны. В самом деле, если бы это было не так и треугольник, стороны которого a, b и c связаны зависимостью

c2 = a2 + b2, оказался бы не прямоугольным, то и стороны бы его не смогли бы удовлетворять этому равенству.

Весьма полезно попросить учащихся указать ряд случаев применения теоремы Пифагора.

В поиске ответа на этот вопрос могут появиться такие задачи.

Участок земли имеет форму прямоугольного треугольника. Наибольшая сторона участка выходит к реке и заболочено, пройти по ней нельзя. Как найти длину наибольшей стороны, если другие две стороны можно измерить непосредственно?

Длина часовой стрелки часов равна 6 мм, а минутной – 8 мм, сколько времени показывают часы, если расстояние между концами стрелок равно 20 мм, а минутная стрелка стоит на отметке «12»?

Можно провести экскурс учащихся в историю, но небольшой, что бы учащимся не надоело слушать.

Интересна история теоремы Пифагора. Хотя эта теорема и связывается с именем Пифагора, она была известна задолго до него. В вавилонских текстах эта теорема встречается за 1200 лет до Пифагора. Возможно, что тогда ещё не знали её доказательства, а само соотношение между гипотенузой и катетом было установлено опытным путём на основе измерений. Пифагор, по-видимому нашёл доказательство этого соотношения. Сохранилось древние предание, что в честь своего открытия Пифагор принёс в жертву богам быка, по другим свидетельствам – даже 100 быков. На протяжении последних веков были найдены различные другие доказательства этой теоремы. В настоящее время их насчитывается боле ста.

Два подхода к решению прямоугольных треугольников

Существует два подхода к изложению темы «Решение прямоугольных треугольников».

Первый подход основан на запоминании четырёх определений основных тригонометрических функций и ещё шести правил:

1. Катет равен гипотенузе, умноженной на синус противолежащего угла;

2. Катет равен гипотенузе, умноженной на косинус прилежащего угла;

3. Катет равен другому катету, умноженному на тангенс противолежащего угла;

4. Катет равен другому катету, умноженному на котангенс прилежащего угла;

5. Гипотенуза равна катету, делённому на синус противолежащего угла;

6. Гипотенуза равна катету, делённому на косинус прилежащего угла.

Второй подход, в отличие от первого, вынуждает учащихся запомнить лишь четыре определения тригонометрической функции острого угла. Это ведёт к меньшей нагрузке на память. Однако и здесь таятся некоторые трудности для учащихся. Они связаны, во-первых, с выбором нужной функции в условиях конкретной задачи, а во-вторых, с тем, что использование их определений не даёт непосредственного знания нужного элемента треугольника, а лишь приводит к уравнению, из которого этот элемент надо найти. Например:

tg α =, x=, x=ctg α.

Этих трудностей можно избежать, если ввести понятие единичного прямоугольного треугольника.

Назовём этим термином прямоугольный треугольник с гипотенузой, равной единице.

В дальнейшем будем называть его просто единичным треугольником. Пусть один из его острых углов равен α. Тогда очевидно, что длина его противоположного катета равна sin α, а прилежащего – cosα.

Эти сведения ученик должен запомнить, что, в общем-то, несложно, так как всегда синус ассоциируется с противолежащим катетом, а косинус с

прилежащим катетом. Кстати, такой подход обнаруживает эффективный способ вычисления синуса, косинуса и служит пропедевтикой к их определению с помощью единичной окружности.

Пусть теперь дан произвольный прямоугольный треугольник со сторонами k, l, m и острым углом α. Наряду с ним рассмотрим единичный треугольник с таким же углом α. Ясно, что единичный треугольник (пусть длины его сторон равны соответственно k1, l1, m1) подобен данному.

Тогда k: l = k1: l1, k=l(1).

Получено правило нахождения любой стороны прямоугольного треугольника. Сформулируем его следующим образом:

Любая сторона прямоугольного треугольника равна другой стороне, умноженной на отношение сходственных сторон единичного треугольника.

Это правило вобрало в себя все шесть правил, приведенных в начале. Оно легко для запоминания, в нем даже не упоминаются термины: «катет», «гипотенуза», «прилежащие и противолежащие катеты», «синус, косинус, тангенс угла». Ученик не стоит перед необходимостью выбора какого-либо правила, формулы и т.д.

Пример. Пусть дан треугольник, у которого катет равен x, а гипотенуза равна a.

Соответствие сходственных сторон этого треугольника и единичного обозначим стрелками.

xsinα, a1.

Тогда x=a=.

На первых порах, написав начало формулы x = надо лишь задаться вопросом: какие стороны единичного треугольника сходственны с x и a. И нужное отношение будет сразу составлено.