Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов

Часто решая какую-либо задачу, ученик сталкивается с рядом проблем: не знает с чего начать рассуждения, от чего отталкиваться и др. В таком случае может помочь непосредственное измерение. Школьник строит необходимый чертеж и измеряет элементы фигур, пытаясь найти какую-либо связь, зависимость между исходными данными и получаемыми результатами. Это помогает ученику найти способ решения задачи.

Пример 5. Дан треугольник АВС. Сторона АС равна 6 см. Высота, проведенная к АС, равна см см. Высота, проведенная к АВ, равна 3см. ÐС треугольника АВС равен 30°. Найти ÐА (рис. 38).

Рис. 38

При решении такой задачи дети могут не сразу догадаться, как же ее решить, им может потребоваться некоторая наводка. Они могут получить эту подсказку, если точно выполнят чертеж к задаче и найдут связь между исходными данными и неизвестными.

Дано:

∆АВС,

АС = 6 см,

ВМ = см – высота ∆АВС,

СН = 3см – высота ∆АВС,

ÐС = 30°,

Найти: ÐА.

Уже при построении чертежа от учеников требуется умение строить такие отрезки, как см. Это построение может быть выполнено следующим образом:

Сначала построим отрезок, равный см. Для этого построим прямоугольный треугольник с гипотенузой 2 см, а катетом 1 см. Тогда второй катет этого треугольника будет равен см (по теореме Пифагора) (рис. 39).

Затем мы три раза откладываем полученный отрезок и делим его пополам.

Рис. 39

Таким образом, при использовании такого вида измерения в качестве средства поиска решения задачи, учащиеся должны хорошо владеть измерительными и чертежными инструментами.

Построение (рис. 40):

АС = 6 см;

ÐС = 30°;

;

КР = ВМ, КÎ а;

b || АС, Р Î b;

Рис. 40

После того, как школьник построил такой треугольник, он может измерить угол, который необходимо найти. Измерив ÐА, ученики убедятся, что он равен 60°, таким образом, треугольник АВС – прямоугольный. У школьников появятся мнения о том, с чего начать решение этой задачи – найти АВ, после чего, показать, что треугольник, в самом деле, прямоугольный.

А уже после того, как ребенок нашел способ решения этой задачи, он ее решает с использованием косвенных измерений.

(Решение:

Найдем площадь треугольника АВС:

С одной стороны: (см2);

С другой стороны: . Откуда АВ = (см)

2. ÐС = 30°, АС = 6 см, АВ = 3 см, сл-но, ∆АВС – прямоугольный, ÐВ = 90°, ÐА = 60°.

Ответ: ÐА = 60°.)

Непосредственные и косвенные измерения также могут помочь в решении задач.

Пример 6. Дана монета (монета имеет форму окружности) (рис. 41). Найти ее радиус.

Рис. 41

Ученики с помощью нити измеряют длину окружности, а затем вычисляют ее радиус по уже известной им формуле.

Заметим, что использование информационных измерений при решении задач возможно, но в большинстве случаев они помогают лишь вычислить что-то, не позволяют ученику понять ход решения. Использование информационных измерений при решении задач оказывают влияние в следующих случаях:

для четкого построения чертежа. С помощью компьютерных технологий школьник может сделать правильный и точный чертеж к задаче, а после этого перейти к поиску решений.

Решение задач на ГМТ.

Решение задач исследовательского характера.

Пример 7. Дан равносторонний треугольник со стороной а и окружность с радиусом, равным стороне треугольника. Определить, сколько возможно точек пересечения окружности со сторонами треугольника.

В программе Живая геометрия ученики могут построить равносторонний треугольник и окружность. Передвигая эту окружность, школьники определят количество точек пересечения. Учитель может сделать это для демонстрации в классе, с использованием анимации, что также возможно в указанном компьютерном приложении.

В решении задач на построение. На этапе анализа задачи ученики могут выполнить чертеж на компьютере, а уже после этого и к отысканию способа построения.

Использование измерений для опровержения каких-либо утверждений

Школьникам задается вопрос об истинности какого-то утверждения. Не каждый ребенок может сразу ответить верно, поэтому чтобы ученики убедились в правильности своего ответа, они проверяют выполнение факта на практике. Рассмотрим несколько примеров таких вопросов.

Ученикам предлагается высказать предположение о том, верно ли следующее утверждение: в треугольнике сумма двух сторон меньше, чем другая его сторона. Учащиеся высказывают свои догадки, после чего учитель предлагает построить в тетрадях произвольный треугольник и проверить выполняется ли это неравенство. После некоторых измерений ученики убеждаются в том, что это утверждение ложно. В этом им помогли непосредственные измерения.

Рассмотрим другой вопрос, для ответа на который понадобятся косвенные измерения: всегда ли площадь квадрата, сторона которого равна диаметру круга, больше площади такого круга. Пусть сторона квадрата равна а, тогда его площадь равна а2. Площадь круга с диагональю а равна . Ученикам нужно сравнить полученные площади: так как <1, то площадь квадрата будет больше, чем площадь круга, диаметр которого равен стороне квадрата. Таким образом, ученики получают ответ на вопрос. (ответ: да)

Измерения, подчеркивающие практическую значимость геометрии

Использование измерений в школьном курсе геометрии помогает при достижении различных целей, дает возможность организовывать урок и в форме лабораторной, исследовательской, практической работы, то есть разнообразить формы организации обучения, что поможет учителю и при контроле знаний и умений учащихся, и при организации индивидуального и дифференцированного подхода к обучению. Заметим, что помимо перечисленных нами направлений использования измерений, они так же существуют как самостоятельная единица. Существует множество разнообразнейших занимательных задач на измерения, подчеркивающих практическую направленность геометрии и межпредметную связь. Рассмотрим примеры таких задач.