Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов

Пример 8. Измерить высоту дерева.

Рис. 42

На некотором расстоянии (рис. 42) от измеряемого дерева, на ровной земле в точке С кладут горизонтально зеркальце и отходят от него назад в такую точку D, стоя в которой наблюдатель видит в зеркале верхушку А дерева. Тогда дерево (АВ) во столько раз выше роста наблюдателя (E

D), во сколько раз расстояние ВС от зеркала до дерева больше расрасстояния CD от зеркала до наблюдателя. Способ основан на законе отражения света. Вершина А (рис. 43) отражается в точке А' так, что АВ = А'В. Из подобия же треугольников ВСА' и СЕВ следует, что A'B:ED = BC:CD. В этой пропорции остается лишь заменить A’В равным ему АВ, чтобы обосновать указанное в задаче соотношение.

Рис. 43

Пример 8. В тени серебристого тополя от его корней разрослась поросль. Сорвите лист и заметьте, как он велик по сравнению с листьями родительского дерева, особенно с теми, что выросли на ярком солнце. Теневые листья возмещают недостаток света размерами своей площади, улавливающей солнечные лучи. Определить, во сколько именно раз площадь листа поросли больше площади листа родительского дерева.

Оба листа, различные по величине, имеют все же одинаковую или почти одинаковую форму: другими словами, — это фигуры, геометрически подобные. Площади таких фигур, мы знаем, относятся, как квадраты их линейных размеров. Значит, определив, во сколько раз один лист длиннее или шире другого, мы простым возведением этого числа в квадрат узнаем отношение их площадей.

Пример 9. У одуванчика, выросшего в тени, лист имеет длину 31 см. У другого экземпляра, выросшего на солнцепеке, длина листовой пластинки всего 3,3 см. Во сколько примерно раз площадь первого листа больше площади второго? [18]

Отношение площадей равно . Значит, один лист больше другого по площади раз в 90.

Такие задачи могут быть использованы также при подготовке внеклассных мероприятий по математике или факультативов.

Рекомендации по реализации основных направлений использования измерений в школьном курсе геометрии

В предыдущих параграфах мы рассмотрели виды измерений и направления их использования в обучении геометрии. В зависимости от направления использования измерений целесообразно применять тот или иной вид измерений. Рассмотрим, при изучении каких тем школьного курса геометрии, возможно использование измерений геометрических величин.

Применение непосредственных измерений, то есть измерений с помощью специальных инструментов, возможно при изучении таких тем как «Смежные и вертикальные углы», «Признаки равенства треугольников», «Свойства равнобедренных треугольников», «Параллельные прямые», «Соотношения между сторонами и углами треугольника», «Подобные треугольники» и др. На уроках при введении перечисленных тем, разделов ученикам предлагается с помощью измерений обнаружить какой-либо факт, убедиться в истинности утверждения. Это можно реализовать с помощью непосредственного измерения геометрических величин. При этом, ученикам нужно дать понять, что непосредственные измерения не всегда точны, и поэтому результат может не совпадать с ожидаемым. В этом случае школьников необходимо познакомить с такими понятиями как погрешности и приближенные значения величин. С погрешностью мы сталкиваемся при измерениях в связи с неточностью измерительного прибора, человеческим фактором, внешними воздействиями. О них следует рассказать ученикам и научить их определять погрешности измерений и работать с ними, если школьники углубленно занимаются математикой. В остальных случаях столь подробного рассмотрения этих понятий не требуется, так как вопрос об погрешности измерений очень сложен. Нам достаточно уметь находить приближенные значения величин.

Итак, при знакомстве с понятиями смежных и вертикальных углов школьники самостоятельно могут сформулировать утверждения: сумма смежных углов равна 180°, вертикальные углы равны. При изучении признаков равенства треугольников, свойств равнобедренных треугольников, признаков параллельности прямых ученики так же приходят к формулировке теорем. После ряда измерений учащиеся приходят к этому. Но после проведенной ими работы учитель должен объяснить необходимость в доказательстве нужной гипотезы: ведь измерения были неточны, и то, что утверждение верно в одном случае не означает, что оно верно всегда.

Использование измерений при изучении нового материала очень широко, но есть и такие темы, при которых применение измерений не требуется. К таким можно отнести следующие темы: «Векторы», «Метод координат», «Движения».

Также при введении нового материала возможно и использование косвенных измерений, то есть те, где необходимо использование известных ученикам формул. Но в отличие от непосредственных, которые помогали прийти к формулировке гипотезы, косвенные измерения могут помочь и в ее доказательстве. Применение косвенных измерений может быть реализовано при изучении таких тем как «Теорема Пифагора», «Подобие фигур», «Площади фигур». Ведь именно здесь ребята уже знакомы с некоторыми формулами, которые помогут им в дальнейшем. Так при изучении площадей четырехугольников они уже знают, как находится площадь треугольника. А так как любой четырехугольник можно разбить на несколько треугольников, то сложностей в нахождении их площадей не возникает.

Применение информационных «измерений» также играет немалую роль при изучении новых понятий. С помощью компьютерных технологий можно продемонстрировать всему классу ряд свойств или теорем. Так, например, при изучении темы «Площадь треугольника» можно показать ученикам, что площадь треугольника не изменится пока будут постоянными основание и высота треугольника.

Так как наглядность в геометрии играет важную роль, то применение информационных технологий на уроках также поможет при реализации принципа наглядности в обучении.

Следующим направлением использования измерений являются измерения при решении задач. Заметим, что непосредственные измерения здесь помогают в поиске решения. Так сделав чертеж к той или иной задаче и измерив необходимые величины, ученик может обнаружить связь между искомыми и данными значениями. Косвенные же измерения необходимы практически при решении любой геометрической задачи. А вот информационные измерения не всегда помогают в решении задач. Компьютер, как мы знаем, создан человек для ускорения вычислений, поэтому ни в поиске решения, ни на этапе осуществления плана решения, он не помогает ученику. При этом информационные технологии, как уже было отмечено выше, могут помочь в следующих случаях:

для четкого построения чертежа.

решение задач на ГМТ.

решение задач исследовательского характера.

решении задач на построение.

Помимо того, чтобы выбрать какой тип измерений использовать на каждом из этапов обучения, учитель должен организовать работу учащихся. Активизировать процесс обучения математике позволяет собственная практическая деятельность учащихся. Так как измерения тесным образом связаны с практической деятельностью, то необходимо правильно подобрать форму обучения. Одной из таких форм является лабораторная работа.