Измерения геометрических величин в курсе геометрии 7-9 классов

вычисления объемов и площадей поверхностей пространственных тел при решении практических задач, используя при необходимости справочники и вычислительные устройства.

Рассмотрим, какое место отводят авторы современных учебников по геометрии измерениям и измерительным приборам в своих книгах, и какие этапы изучения измерений в школе можно выделить.

Этапы изучения измерений в школе: пропеде

втический курс (1-6 классы), основная школа (7-9 классы), старшая школа (10-11 классы).

В пропедевтическом курсе, который охватывает начальную школу и младшие классы среднего звена, учащиеся знакомятся с различными геометрическими фигурами, приобретают начальные навыки изображения этих фигур с помощью линейки, циркуля, угольника. С процессом измерения учащиеся знакомятся на наглядно-интуитивном уровне. Школьники приобретают опыт непосредственного измерения, нахождения и сравнения длины отрезка, площадей плоских фигур, а также знакомятся с различными единицами измерения и переводом из одних единиц измерения в другие. На этом же этапе учащимся приводятся формулы для косвенного измерения периметра многоугольника, площадей плоских фигур (квадрата, прямоугольника).

На втором этапе изучается большое число теоретических фактов, с помощью которых проводится косвенное измерение геометрических величин. Переходя к этому этапу необходимо мотивировать переход от непосредственного к косвенному измерению. Для этого полезно вспомнить об инструментах, с помощью которых измеряются длины отрезков (линейка), углы (транспортир) и др. Также на этом этапе изучается большинство теорем, позволяющих производить косвенные измерения геометрических величин (длин отрезков, углов, площадей).

В старшей школе от измерений длин отрезков, углов, площадей переходят к измерению объемов геометрических тел, применяя при этом знания начал математического анализа.

Для того, чтобы ответить на вопрос о месте измерений в курсе геометрии, проведем сравнительный анализ учебников по геометрии, используемых в школе.

Сравнительный анализ учебных пособий по геометрии для 7 – 9 классов

Проведем сравнительный анализ как теоретического материала, так и задачного. Анализ содержания предлагаемого для изучения материала проведем по четырем вопросам:

понятие измерения геометрической величины;

измерение геометрических величин;

вычисление геометрических величин;

применение измерений геометрических величин на практике.

Выбраны именно такие аспекты, так как именно они охватывают всю теорию измерений. Первый аспект – понятие измерения геометрической величины, подразумевает ответ на вопрос о том, дается ли в учебнике определение понятия длины отрезка, градусной или радианной меры угла, понятия площади плоской фигуры. Измерение и вычисление геометрических величин подразумевают непосредственное (прямое) и опосредованное (косвенное) измерение длин отрезков, углов, площадей соответственно. Непосредственное измерение связано с применением измерительных приборов, а косвенное – с использованием формул. Последний аспект охватывает область применения измерений геометрических величин на практике, то есть использование измерений при решении практико-ориентированных задач, доказательстве теорем.

Учебник геометрии 7 – 9 (авторы Атанасян Л.С. и др.)

В первой главе рассматриваются простейшие геометрические фигуры – точка, прямая, отрезок, луч, вопрос сравнения и измерения отрезков и углов. Введение основных понятий опирается на наглядные представления и на тот опыт, который накоплен учащимися при изучении математики в 1 – 6 классах.

Прежде, чем вводить понятие длины отрезка, авторы рассматривают решение задачи: с помощью данной линейки построить отрезок более длинный, чем сама линейка.

Авторы также поясняют, что для проведения длинных отрезков, прямых на местности, используется прием, который называется провешиванием прямой. Он широко используется на практике, например, при рубке лесных просек, при прокладывании трассы шоссейной или железной дороги, линий высоковольтных передач и т.д.

На практике часто приходится не только строить различные отрезки, но и измерять их, то есть находить их длины. Измерение отрезков основано на сравнении их с некоторым отрезком, принятым за единицу измерения (его также называют масштабным отрезком). Если, например, за единицу измерения принят сантиметр, то для определения длины отрезка узнают, сколько раз в этом отрезке укладывается сантиметр. Может оказаться так, что отрезок, принятый за единицу измерения, не укладывается целое число раз в измеряемом отрезке – получается остаток. Тогда единицу измерения делят на равные части, обычно на 10 равных частей, и определяют, сколько раз одна такая часть укладывается в остатке.

За единицу измерения можно принимать не только сантиметр, но и любой другой отрезок. Выбрав единицу измерения, можно измерить любой отрезок, то есть выразить его длину некоторым положительным числом. Это число показывает, сколько раз единица измерения и ее части укладываются в измеряемом отрезке.

После этого в тексте учебника выделяются некоторые свойства длин отрезков: если два отрезка равны, то единица измерения и ее части укладываются в этих отрезках одинаковое число раз, то есть равные отрезки имеют равные длины. Если же один отрезок меньше другого, то единица измерения (или ее части) укладываются в этом отрезке меньшее число раз, чем в другом, то есть меньший отрезок имеет меньшую длину. Когда точка делит отрезок на два отрезка, длина всего отрезка равна сумме длин этих двух отрезков. Длина отрезка называется также расстоянием между концами этого отрезка.

Также авторы рассказывают о единицах измерения и измерительных инструментах, применяемых при измерении отрезков. Для измерения отрезков и нахождения расстояний на практике используют различные единицы измерения. В учебнике упоминается о таких единицах измерения как метр, сантиметр, миллиметр, дециметр, километр, морская миля, световой год, аршин, сажень.

Измерительные приборы, рассматриваемые в учебнике: масштабная миллиметровая линейка, используемая в техническом черчении; штангенциркуль – для измерения диаметра трубки; рулетка – для измерения расстояний на местности.

Измерение углов вводится аналогично измерению отрезков, основано на сравнении их с углом, принятым за единицу измерения. В параграфах «Измерение углов на местности» и «Построение прямых углов на местности» рассказывается о специальных приборах, предназначенных для измерения углов. Так, например, одним из таких приборов является астролябия. «Она состоит из двух частей: диска, разделенного на градусы, и вращающейся вокруг центра диска линейки (алидады). На концах алидады находятся два узких окошечка, которые используются для установки ее в определенном направлении».

Для построения прямых углов на местности также применяют специальные приборы, простейшим из которых является эккер. «Эккер представляет собой два бруска, расположенных под прямым углом и укрепленных на треножнике. На концах брусков вбиты гвозди так, что прямые, проходящие через них, взаимно перпендикулярны. Чтобы построить на местности прямой угол с заданной стороной ОА, устанавливают треножник с экером так, чтобы отвес находился точно над точкой О; а направление одного бруска совпало с направлением луча ОА. Совмещение этих направлений можно осуществить с помощью вехи, поставлены на луче. Затем провешивают прямую линию по направлению другого бруска. Получается прямой угол АОВ.