Элективные курсы

Задача3. Решить уравнение в F37 .

9х = 1. помножим оби части уравнения на 4.

38х = 4 так как мы находимся в поле F37, тогда 36х заменим на –х получим -х = 4,

х= -4 или 33 mod(37). Ответ: -4, 33

Задача4. Найти НОД для многочленов f и g из поля F2.

А) f(x)= x5+ x+1

g(x)= x6+x5+x4+ x+1.

Решение: поделим многочлен на многочлен, уголком используя алгоритм Евклида.

1)_

x6+x5+x4+ x+1 ïx5+ x+1 2)_ x5+x+1 ïx4-x2

x6+x2+x x+1 x5-x3 x

_ x5+x4-x2+ x+1 x3+x+1

x5+ x+1

x4-x2

3)_ x4-x2 ïx5+ x+1

x4+x2+1 x

-2x2+1

Рассмотрим полученное выражение, так как мы находимся в поле F2, то -2 это 0, тогда останется только 1, а значит, 1 является наибольшим общим делителем многочленов f(x) и g(x).

Ответ: НОД(f(x),g(x))=1.

Задача5. Найти НОД для многочленов f и g из поля F3.

F(x)= x8+2x5+x3+x2+1

g(x)= 2x6+x5+ 2x3+2x2+2

Решение:

так как мы находимся в поле F3, то все коэффициенты при x равные 2 заменятся на -1, тогда многочлены f(x) и g(x), примут вид:

f(x)= x8-x5+x3+x2+1

g(x)= -x6+x5-x3-x2-1

поделим многочлен на многочлен, уголком используя алгоритм Евклида

1)_x8-x5+x3+x2+1 ï-x6+x5-x3-x2-1 2)_-x6+x5-x3-x2-1 ï-x5+x4-x3-x2+x

x8-x7+x5+x4+x2 - x2-x-1 -x6+x5-x4-x3+x2 x

_ x7+x5-x4+ x3 x4-2x2-1Þ x4+x2-1

x7-x6+ x4+x3+x

_x6+x5+x4+x+1

x6-x5+x3+x2+1

-x5+x4-x3-x2+x

3)_ -x5+x4-x3-x2+x ï x4-x3 +x2-1 4) _ x4+x2-1 ï-x2

- x5-x3+x - x+1 x4-x2 x2-1

_ x4-x2 _-x2-1

x4+x2-1 -x2+1

-2 x2-1Þ x2-1 -2Þ 1

Ответ: НОД(f(x),g(x))=1.

Домашнее задание.

Задача 1. Найти порядки элементов 2, 10 в F17 .(Самостоятельное решение)

Задача 2. Решить уравнение в F37 5х =7

(решение аналогично решенному уравнению выше: 5х =-30, х = -6 Ответ: -6, 31.)

Задача3. Найти НОД для многочленов f и g из поля F3.

F(x)= x7+1

g(x)= x5+x3+ x+1.

(Решение: поделим многочлен на многочлен, уголком используя алгоритм Евклида.

1)_ x7+1 ïx5+ x3+x+1 2)_ x5+x3+x+1 ï-x2+x-1

x7+x5+x3+x2 x2-1 x5-x4+x3 -x3-x2-x

_- x5-x3-x2+1 _ x4+x

-x5- x3-x-1 x4-x3+x2

-x2+x+2Þ –x2+x-1 _ x3-x2+x

x3-x2+x

1

Ответ: НОД(f(x),g(x))=1. )

Занятие 7-8. (лекция) критерии подполя. Таблицы операций конечного поля

Основные задачи этого занятия:

Сформулировать критерий описывающий возможные подполя для конечного поля.

Решить задачу о составлении списка всех делителей числа 30.

Построить таблицы сложения и умножения для некоторого конечного поля.

Теорема 1. (критерий подполя). Пусть Fq — конечное поле из q = рп элементов (р — простое число). Тогда каждое подполе поля Fq имеет порядок рт, где т является положительным делителем числа п. Обратно, если т – положительный делитель числа п, то существует ровно одно подполе поля Fq из рт эле_ое_ов.

Теорема 1 показывает, что если т — положительный делитель числа п, то в поле имеется единственное подполе порядка рт, и это подполе состоит в точности из корней многочлена

в поле .

Пример 1. Подполя конечного поля F230 можно найти, составив список всех положительных делителей числа 30.

Согласно теореме 1, эти отношения включения равносильны отношениям делимости соответствующих делителей числа 30.

Задача 1. найти подполя конечно поля F525 составив список всех положительных делителей числа 25. (решить самостоятельно)

Определение 1. Пусть К — некоторое подполе поля F и q Î F. Если q удовлетворяет нетривиальному уравнению с коэффициентами из поля К, т. Е. если , где элементы аi лежат в К и не равны нулю одновременно, то элемент q называется алгебраическим над К. Расширение L поля К называется алгебраическим расширением поля К.

Определение 3. Пусть L — некоторое расширение поля К. Если L, рассматриваемое как векторное пространство над К, имеет конечную размерность, то L называется конечным расширением поля К.

Теорема 3. Пусть Fq – конечное поле и Fr – его конечное расширение. Тогда Fr является простым алгебраическим расширением поля Fq, причем образующим элементом этого простого расширения может служить любой примитивный элемент поля Fr.

Следствие 1. Для каждого конечного поля Fq и каждого натурального числа n в кольце Fq[x] существует неприводимый многочлен степени n.

Самостоятельная работа.

Составить таблицы операций сложения и умножения для фактор кольца Z/(p), где p=7.

Найди порядки элементов 4 и 20 в F21.

Решить уравнение. А) В F71 8x=2 б) В F52 3x+4x=3

Найти НОД для многочленов f и g из поля F2.

f(x)= x3+x+1, g(x)= 2x5+ x2+2

Домашнее задание.

Задача 1. найти подполя конечно поля F260 составив список всех положительных делителей числа 60.

Занятие 9. Корни неприводимых многочленов

Занятие содержит материал повышенного уровня) Основные задачи этого занятия:

Сформулировать определение неприводимого многочлена.

Сформулировать теорему о существовании простого алгебраического расширения поля К.

Рассмотреть примеры.

Содержание занятия.

На этом занятии мы рассмотрим вопрос о множестве корней неприводимого многочлена над конечным полем.

Определение. Многочлен fÎF [х] называется неприводимым (точнее неприводим над полем F или в кольце F[x]), если он имеет положительную степень и равенство f = gh, g ,h ÎF [x], может выполняться лишь в том случае, когда, либо g, либо h является постоянным многочленом. Многочлен называется неприводимым тогда и только тогда, когда он, не имеет корней.

Определение 1. Если элемент q поля F алгебраический над подполем К этого поля, то однозначно определенный нормированный многочлен gÎК[х], порождающий идеал J = {fÎ К[x] ï f (q) = 0} кольца К [х], называется минимальным многочленом элемента q над полем К.

Под степенью элемента q над полем К понимается степень его минимального многочлена g.

Введенное определение позволяет сформулировать лемму о неприводимом многочлене.

Лемма 1. Пусть f Î Fq[x]— неприводимый многочлен над конечным полем Fq, и пусть a — корень этого многочлена в некотором расширении поля Fq. Тогда для многочлена h Î Fq [x] равенство h (a) = 0 выполняется в том и только том случае, если многочлен f делит h.

Лемма 2. Пусть f Î Fq [x]- неприводимый многочлен степени т над Fq- Тогда f(x) делит многочлен -x в том и только том случае, если число т делит п.

С помощью следующей теоремы мы сможем решить задачу. Которая будет в контрольной работе. Запишем ее формулировку.