Элективные курсы

Задача1. F2[x]-кольцо над полем вычетов и g(x)=x3+x+1-неприводимый многочлен. Найти корни многочлена g(x) в конечном поле из 8 элементов.

Решение:

- элементы поля L, и а0 , а1 , а 2 Î{0,1}.

Пусть - корень g(x)=x3+x+1 в , и - другие корни x3+x+1=

,

Проверим, что - корень.

_x6+x2+1 ïx3+x+1

x6+x4+x3 x3-x-1

_ -x4+x2-x3

- x4-x2- x

_ -x3+x+1

-x3-x-1

2x+2Þ 0остаток равен 0.

Задача2. F3[x]-кольцо над полем вычетов и g(x)=x3-x-1. Найти корни многочлена g(x) в конечном поле из 3 элементов.

Решение:

В корни f(x)=x3-x-1 – это , ,

1) _x3 ïx3-x-1

x3-x-1 1

x3+1- остаток.

2)

3)

Ответ: , , корни x3-x-1

Домашнее задание. Подготовиться к контрольной работе.

Занятие 13. Контрольная работа

Основные задачи этого занятия:

Провести контрольную работу.

Содержание занятия.

Задания для контрольной работы.

Решить уравнение. а) В F6 5x=20

б) В F5 6x=6

в) В F77 4x=5

2. Доказать неприводимость над F2 многочлена f(x)=x3+x+1Î F2 [x]

3. Построить таблицы сложения и умножения для поля L=F3 (θ) , f(х) = х2 + х+2 ÎF3 [х],

4. Найти НОД для многочленов f и g из поля F2 , f(x)= x4+x3+1, g(x)= x4+ x2+x+1

Найдите дискриминант и кратные корни многочлена f(x)= 2x4+x3+x2+2x+2ÎF3 [х].

F3[x]-кольцо над полем вычетов g(x)=x3+x-1 неприводимый многочлен. Найти корни многочлена g(x) в конечном поле из 3 элементов.

7* Пусть F- поле и f, g, h, ÎF[x] . Доказать, что если f делит g h и НОД ( f, g)=1, то f делит h.

Занятие 14. Зачет

Учащиеся к зачету должны выучить все формулировки теорем и определений. изученных в элективном курсе.

Зачет проводиться в устной форме. Сначала защищается контрольная работа, исправляются ошибки, а затем учащиеся устно отвечают на вопросы учителя.

Оценка в виде зачет или незачет.

В современных условиях развития общества особую актуальность приобрела проблема внедрения в школьное математическое образование элементов современной математики. На сегодняшний момент это возможно в рамках профильной школы, на элективных курсах.

Изучение школьных программ и программ элективных курсов по математике показало, что, например, элементы современной абстрактной алгебры, в частности, элементы теории конечных полей в них не включены. В качестве элективного курса нами был разработан курс «Элементы современной алгебры» для учащихся 10-11-х классов.

В процессе исследования были выявлены возможности введения элементов современной алгебры в программу элективных курсов, обоснованы целесообразность данного учебного материала.

Было разработано содержание занятий элективного курса по теме: «Элементы теории конечные поля».

В ходе исследования были изучены основные понятия теории конечных полей, решены задачи по данной теме. На основе изучения психолого-педагогической литературы была дана характеристика старшеклассника, его процесса, развития мышления, сформулированы особенности формирования мышления в старшем школьном возрасте, обосновано влияние элементов современной алгебры на развитие абстрактного мышления старшеклассников.

Элективные курсы — дело для отечественной школы новое, опыта их проведения практически нет. Это означает, что учителя, преподающие эти курсы, исходят в основном из своего личного опыта.

Как уже говорилось выше, одной из основных целей обучения в профильных классах является развитие личности ребенка, распознавание и раскрытие его способностей. Было бы неверно считать, что целью обучения в математическом профиле является «выращивание» математиков. Очень немногие выпускники математических школ станут профессионалами в этой области.

Если в результате занятий в профильной школе, и в частности занятий элективным курсом, ученик выбирает путь продолжения образования, связанный с математикой, — ориентационная цель достигнута. Но если выпускник математического класса осознанно не выбирает «математическое будущее», то цель также достигнута. Недостигнутой она может считаться лишь в том случае, если ученик так и не понял, нравится ему математика или нет.

Все поставленные цели и задачи исследования выполнены.