Элективные курсы

Установим то, что порядком каждого конечного поля является некоторая степень простого числа и, наоборот, для каждой степени простого числа

q = рn, п ÎN,

существует конечное поле, состоящее из q элементов.

Вспомним следующее определение:

Определение.

Кольцо называется кольцом с единицей, если оно имеет мультипликативную единицу, т. Е. если существует такой элемент е&Ici

rc;R, что

ае = еа = а

для любого аÎ R.

(II) Кольцо называется коммутативным, если операция × коммутативна.

(III) Кольцо называется целостным кольцом (или областью целостности), если оно является коммутативным кольцом с единицей е ¹ 0, в котором равенство ab = 0 влечет за собой а = 0 или b = 0.

(IV) Кольцо R называется телом, если R ¹ {0} и ненулевые элементы в R образуют группу относительно операции .

(V) Коммутативное тело называется полем.

Ранее, мы уже приводили примеры некоторых из выше перечисленных колец (см занятие 1).

Определение 1. Пусть R — произвольное кольцо. Если существует такое натуральное число п, что для каждого rÎR выполняется равенство пr = 0, то наименьшее из таких чисел п (скажем, n0 ) называется характеристикой кольца R, а само R называется кольцом (положительной) характеристики п0. Если же таких натуральных чисел п не существует, то R называется кольцом характеристики 0.

Теорема 1. Если кольцо R ¹ {0} с единицей е и без делителей нуля имеет положительную характеристику п, то п —простое число.

Следствие теоремы 1. Характеристикой конечного поля является простое число.

Конечное поле Z/(p) (т. Е. Fp), очевидно, имеет характеристику р, в то время как кольцо Z целых чисел и поле Q рациональных чисел имеют характеристику 0. Заметим, что в кольце R характеристики 2 имеет место равенство 2а =а + а = 0, откуда следует, что а = -а для всех аÎ R.

Поле Fp играет важную роль в общей теории полей, так как, каждое поле характеристики р должно содержать изоморфное fp подполе и потому может рассматриваться как расширение поля Fp. Это замечание играет основную роль в классификации конечных полей, поскольку характеристика каждого конечного поля является простым числом.

Установим одно простое предложение о числе элементов конечного поля.

Лемма 1. Пусть F — конечное поле, содержащее подполе К из q элементов. Тогда F состоит из qт элементов, где т = [F: К].

Следующая теорема поможет нам в утверждении, что:

Теорема 2. Пусть F — конечное поле. Тогда оно состоит из рп элементов, где простое число р является характеристикой поля F, а натуральное число п является степенью поля F над его простым подполем.

На основе выше изложенного мы можем сформулировать главную характеризационную теорему ля конечных полей.

Теорема 3. (существование и единственность конечных полей). Для каждого простого числа р и каждого натурального числа п существует конечное поле из рп элементов. Любое конечное поле из q = pn элементов изоморфно полю разложения многочлена хq — х над полем Fp. (Без доказательства)

Домашнее задание.

Чтобы установить, что для каждого простого р и каждого натурального п существует конечное поле из рп элементов, мы используем подход, подсказываемый следующей леммой.

Лемма. Если F — конечное поле из q элементов, то каждый элемент аÎF удовлетворяет равенству аq = а.

Найти доказательство этой леммы, переписать его и разобраться.

(Доказательство. ► Для а = 0 равенство аq = а выполняется тривиально. Что же касается ненулевых элементов поля F, то они образуют мультипликативную группу порядка q — 1, так что для каждого ненулевого элемента а Î F выполняется равенство aq-1=1, умножение которого на а приводит к требуемому результату. ◄) (усложненный уровень)

Доказательство леммы 1. ►Поле F можно рассматривать как векторное пространство над полем К. В силу конечности F это пространство конечно мерно. Если [F:К]=т, то F имеет базис над полем К, состоящий из т элементов, скажем, b1,…,bm. Таким образом, каждый элемент поля F может быть однозначно представлен в виде линейной комбинации a1b1 + … + ambm, где a1,…,атÎ К. Так как каждый коэффициент ai может принимать q значений, то поле F состоит в точности из qm элементов.◄

Доказательство теоремы 2. ►Так как поле F конечно, то его характеристика — некоторое простое число р (по следствию 1 теоремы 1). Поэтому простое подполе K поля F изоморфно Fp, согласно теореме 2, и, значит, содержит р элементов. Остальное вытекает из леммы 1. ◄

Занятие 5-6. (практика)

Основные задачи этого занятия:

сформулировать терему о том. что фактор кольцо является полем.

доказать, что в поле вычетов Fp по простому модулю p, ap-1=1.

научиться находить порядок элементов в поле вычетов.

Найти НОД многочленов в конечном поле.

Содержание занятия

Начнем наши практические занятия с повторения.

Теорема. Факторкольцо Z/(p) кольца Z целых чисел по главному идеалу, порожденному простым числом р, является полем. (См. занятие 1)

Задача1. Пусть p – простое число. Докажите, что в поле вычетов Fp по модулю p для любого элемента a, отличного от нуля ap-1=1.

Вспомним, что порядок группы – это число ее элементов (*)

Доказательство. Не нулевые элементы поля образуют группу по умножению (по определению группы). Всего элементов в поле вычетов p. Порядок этой группы p – 1, в любой конечной группе порядок элемента является делителем порядка группы (по следствию теоремы Лагранжа). Следовательно, элемент в степени порядка группы равен 1.

Задача2. Найти порядки элементов 2, 10 в F19 .

Решение: порядки этих элементов являются делителями 18 (19 – 1=18 по теореме Лагранжа), следовательно находим делители 18, а это числа: 2, 3, 6,9, 18, а значит возведем в теперь а)2 и б)10 в степени 2, 3, 6, 9, 18 помня о том, что, мы находимся в поле F19.

Получим: а) , ,

, вычтем из 64 19 три раза и получим, что

По определению порядка элемента, если при возведении в степень состоящую из делителей (в данном случае это делители числа 18) число дает 1, то порядком элемента является эта степень. Ответ: порядок 2 в F19=18

б) решение: аналогично используя рассуждения задачи (а) определим порядок элемента 10 в F19:

, ,

Ответ: порядок 10 в F19=18