Элективные курсы

Основная задача этого занятия: вспомнить ранее известные определения тех понятий, которые будут использоваться в теории. А также привести ряд примеров.

Мы рассмотрим лишь самые основные определения, сознательно ограничим себя тем минимумом теории, необходимым для нашей основной цели — изучения конечных полей.

Будем использовать следующие числовые множества: IN — множество натуральных, Z

— целых, Q — рациональных, R — действительных и С — комплексных чисел.

Определение 1. Группой (G, *) называется некоторое множество G с бинарной операцией * на нем, для которых выполняются следующие три условия:

Операция * ассоциативна, т. Е. для любых а, b, сÎ G ;

а * (Ь * с) = (а * Ь) * с.

В G существует единичный элемент (или единица) е, такой, что для любого а Î G;

a* e = e* a = a

3. Для каждого а Î G существует обратный элемент а-1 Î G такой, что а

* а-1 = а-1 * а = е.

Если группа удовлетворяет также следующему условию:

Для любых a, b ÎG

а * b = b * a,

то она называется абелевой (или коммутативной).

Группу (G, *) будем обозначать просто G. Легко показать, что единичный элемент е группы G, а также обратный элемент а-1 для каждого данного элемента, аÎ G определяются однозначно указанными выше условиями. Далее, для всех a, b Î G имеет место равенство

(а * b)-1 = b-1 * а-1.

Для простоты мы часто для групповой операции используется мультипликативное обозначение • (как для обычного умножения) и вместо а * b пишут а•b или просто ab (называя этот элемент произведением элементов а и Ь). Но необходимо подчеркнуть, что при этом мы отнюдь не предполагаем, что операция и в самом деле является обычным умножением. Иногда, однако, для групповой операции бывает удобно использовать аддитивную запись и писать а + b вместо а * b (называя этот элемент суммой элементов а и Ь). 0 вместо е (называя этот элемент нулем) и —а вместо а-1. Такие (аддитивные) обозначения обычно резервируются для абелевых групп.

Для п =0 Î Z полагаем а0 = е в мультипликативных обозначениях и 0а = 0 в аддитивных (здесь второй нуль является единичным элементом группы G).

Приведем пример групп:

1. Пусть G — множество целых чисел с операцией + (обычным сложением). Известно, что это ассоциативная операция и что сумма двух целых чисел — однозначно определенное целое число. Легко убедиться, что G — группа, в которой единичным элементом является нуль 0, а обратным для целого числа а — противоположное число –а. Эту группу обозначают через Z.

2. Множество, состоящее из единственного элемента е с операцией *, определенной условием е * е = е, образует группу.

3. Пусть G — множество {0, 1, 2, 3, 4, 5} остатков от деления целых чисел на 6, и для a, bÎ G пусть а * b — остаток от деления на 6 обычной суммы чисел а и b. Существование единичного элемента и обратных здесь очевидно, но для установления ассоциативности операции * требуются некоторые вычисления. Полученную группу можно непосредственно обобщить, заменив целое число b любым натуральным числом п.

Вспомним следующее определение.

Определение 2. Абелевой Группой (или коммутативной) (G, *) называется некоторое множество G с бинарной операцией * на нем, если группа удовлетворяет также следующему условию: для любых a, b ÎG:

а * b = b * a,

Определение 3. Кольцом (R, +, ×) называется множество R с двумя бинарными операциями, обозначаемыми символами «+» и «×», такими, что

1. R — абелева группа относительно операции «+».

2. Операция × ассоциативна, т. Е. для всех а, b, с Î R,

(а× b) × с= а×(b×с).

Выполняются законы дистрибутивности, т. Е. для всех а, b, с Î R:

а×(b + с) = а×b + а×с и (b + с)×а = b×а + с× а.

Следует обратить внимание на то, что операции + и • не обязательно являются обычными сложением и умножением. Единичный элемент аддитивной группы кольца R называется нулевым элементом (или нулем) кольца R и обозначается символом 0, а обратный к элементу а этой группы обозначается через –а.

Из определения кольца получается общее свойство a0 = 0а = 0 для всех а Î R. Из этого в свою очередь следует, что (—a) b = а (—b) = —ab для всех a, b ÎR.

Примеры колец:

1. Пусть R — абелева группа с групповой операцией +. Определим умножение условием ab = 0 для всех a, b ÎR. Тогда R становится кольцом.

2. Целые числа образуют целостное кольцо, но не поле.

3. Четные числа образуют коммутативное кольцо без единицы.

Выше мы видели, что поле, в частности, является целостным кольцом. Обратное, вообще говоря, неверно (см. пример 2 ), однако верно в случае, когда указанное целостное кольцо состоит из конечного числа элементов (т. Е. является конечным кольцом). Порядком конечного кольца называется число элементов этого кольца.

Определение 4. а) кольцо называется коммутативным, если операция «×» коммутативна.

б) кольцо называется целостным кольцом, если оно является коммутативным кольцом с единицей е ¹ 0, в котором равенство ab = 0 влечет за собой а = 0 или b = 0.

в) коммутативное тело называется полем.

Вспомним определение идеала.

Определение 5. Подмножество J кольца R называется идеалом этого кольца, если оно является подкольцом кольца R и для всех а Î J и r ÎR имеет место аrÎJ и rа Î J.

Пример идеала:

Пусть R — коммутативное кольцо, а Î R, и пусть J= {ra׀‌‌rÎR}. Тогда J — идеал кольца R.

Так как идеалы являются нормальными подгруппами аддитивной группы кольца, то каждый идеал J кольца R определяет некоторое разбиение множества R на смежные классы по аддитивной подгруппе J, называемые классами вычетов кольца R по модулю идеала J. Класс вычетов кольца R по модулю J, содержащий элемент а Î R, будем обозначать через [а] = a+J, так как он состоит из всех элементов R вида а+с, где сÎ J. Элементы a, b Î R, принадлежащие одному и тому же классу вычетов по модулю J (т. Е. такие, что а — b £ J), называем сравнимыми по модулю J и записывать это так: а º b (mod J ) .

Определение 6. Кольцо классов вычетов кольца R по модулю идеала J относительно операций (a+J)+(b+J)=(a+b)+J и (a+J)(b+J)=ab+J называется факторкольцом кольца R по идеалу J и обозначается через R/J.

Домашнее задание.

Найти примеры: групп, идеала, колец, поля. Уметь объяснить почему этот пример подходит.

Занятие 3. Конечное поле, вычисление в конечном поле

Основные задачи этого занятия: ввести определение конечного поля. Привести пример конечного поля. Так же рассмотреть вычисления в конечном поле.

Содержание занятия.

Определение. Поле называется конечным, если оно состоит из конечного количества элементов. Для любого простого числа р и любого натурального числа n существует поле, состоящее из рn элементов.

Наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов по простому модулю, т. Е. факторкольцо Z/(p), где р — простое число. Многие свойства этого поля сохраняются и для произвольных конечных полей. Множество Zn классов вычетов по модулю n образует кольцо. Если р – простое число, то Zp образует поле, т.е. в нем можно производить сложение, вычитание, умножение и деление. Мы будем работать со следующими представителями смежных классов: 0, 1, 2, … , р-1 .