Элективные курсы

Задача. Пусть мы находимся в поле Z11 , рассмотрим в этом поле несколько примеров операций.

2 + 10 = 1, так как 2 + 10 = 12 = 1 (mod 11)

56-21=2, так как 56-21=35= 2(mod11)

2 · 10 = 9, так как 2 ·10 = 20 = 9 (mod 11)

2 : (-1) = 6, так как 2· 6 = 12 = 1 (mod 11 )

5 : (-1) = 9, так как 5 ·9 = 45 = 1 (mod 11)

Из выше сказанного возникает потребность в формулировке следующег

о утверждения.

Теорема 1. Факторкольцо Z/(p) кольца Z целых чисел по главному идеалу, порожденному простым числом р, является полем.

Теорема 2. Каждое конечное целостное кольцо является полем.

Для большего понимания приведем следующий пример.

Пример. Пусть p = 3. Тогда факторкольцо Z/(p) состоит из трех элементов [0], [1] и [2]. Операции в этом кольце можно задать таблицами (сложения и умножения).

Факторкольцо Z/(p) — пример конечного поля, т. Е. поля, содержащего конечное число элементов. Общая теория таких полей будет развита позже.

Задача 1. Составьте таблицы операций сложения и умножения, для факторкольца Z/(p), где p=5.

Решение. Если p=5, тогда фактор кольцо состоит из пяти элементов [0], [1], [2], [3], [4].

Домашнее задание.

Найти доказательство теоремы 1. Разобраться в нем до следующего занятия.

(Доказательство. ►В силу теоремы о том, что (каждое конечное целостное кольцо является полем) достаточно показать, что Z/(p) является целостным кольцом. Ясно, что его единицей является [1] и что равенство [a][b]=[ab]=[0] выполняется в том и только том случае, когда ab= kp для некоторого целого числа k. Но поскольку р — простое число, то оно делит произведение ab тогда и только тогда, когда оно делит по крайней мере один из сомножителей. Следовательно, либо [a]=[0], либо [b] = [0], так что кольцо Z/(p) не имеет делителей нуля.◄)

Задача 1. Составьте таблицы операций сложения и умножения, для факторкольца Z/(p), где p=6.

Вычисли в Z8

а) 135+47 в) 9· 9

б) 198 -109 г)15· 6

Занятие 4. Характеризация конечных полей

Данное занятие включает в себя материалы (усложненного уровня).

Основные задачи этого занятия:

вспомнить определение коммутативного кольца, кольца с единицей, целостного кольца, что называется телом.

сформулировать определения: характеристики кольца, простого поля,

сформулировать теорему про n простое число, если кольцо R без делителей нуля.

Сформулировать основную теорему этого занятия, о том, что порядком каждого конечного поля является некоторая степень простого числа

Содержание занятия.

Как уже говорилось, что наиболее известным примером конечного поля является поле классов вычетов по простому модулю, т. Е. факторкольцо Z/(p), где р — простое число. Многие свойства этого поля сохраняются и для произвольных конечных полей.