Алгебра октав

(u1; v1) (u3; v3) + (u2; v2) (u3; v3) = (u1u3 -3v1; v3u1 + v1ū3)+(u2 u3 -3v2; v3u2+ v2ū3)=(u1 u3 -3v1 + u2 u3 -3v2; v3u1 + v1ū3 + v3u2+ v2ū3).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно,

((u1; v1) + (u2; v2)) (u3; v3) = (u1; v1) (u3; v3) + (u2; v2) (u3; v3),

т.е. умножение в дистрибутивно справа относительно сложения.

Аналогично устанавливается равенство:

(u3; v3) ((u1; v1) + (u2; v2)) = (u3; v3) (u2; v2) + (u3; v3) (u1; v1).

Действительно, с одной стороны:

(u3; v3) ((u1; v1) + (u2;v2)) = (u3; v3) v (u2+ u1 ; v1 + v2) = (u3 (u1 + u2); ()v3;

(v1+ v2)u3+ v3())= (u3 u1 + u3u2 -1v3 - 2v3; v1 u3 + u2 u3+ v3ū1+ v3ū2);

с другой стороны:

(u3; v3) (u1; v1) +(u3; v3) (u2; v2) = (u3 u1 - 1v3; v1 u3 + v3ū1)+ (u3 u2 - 2v3; v2 u3 + v3ū2)= (u3 u1 -1v1 + u3 u2 -2v3; v1 u3 + v3ū1 + v2 u3 + v3ū2).

Сопоставляя правые части полученных равенств, замечаем, что они равны. Следовательно, умножение в дистрибутивно слева относительно сложения .

6) Покажем, что умножение в не ассоциативно.

Действительно, с одной стороны:

((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) = (u1 u2 -2v1; v2 u1 + v1 ū2) (u3; v3) = ((u1 u2 - 2v1)u3 -3(v2 u1 + v1ū2);

v3(u1 u2 - 2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū3) = (u1 u2 u3 - 2v1u3 -3v2 u1 -3v1ū2; v3u1u2 - v32v1 - v2 u1 ū3 - v1ū2 ū3).

С другой стороны:

(u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3)) = (u1; v1) (u2u3 - 3v2; v3u2 + v2ū3) = (u1 (u2u3 - 3v2) – v1;

v1+ (v3u2 + v2ū3) u1) = (u1u2u3 - u13v2 –v1 - u32v1; v1- v12v3 + v3u2 u1 + v2ū3 u1).

Из сопоставления правых частей этих равенств следует, что

((u1; v1) (u2; v2)) (u3; v3) ≠ (u1; v1) ((u2; v2) (u3; v3))

т.е. умножение в не ассоциативно.

7) Рассмотрим произведения:

(u1;v1) (u2;v2) = (u1u2 - 2v1 ; v2 u1 + v1 ū2);

(u2;v2) (u1;v1) =(u2u1 - 1v2 ; v1 u2 + v2 ū1).

Сравнивая правые части этих равенств, убеждаемся, что

(u1;v1) (u2;v2) ≠ (u2;v2) (u1;v1)

т.е. умножение в не коммутативно.

8) Покажем, что имеет место равенство

((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1; v1) ((u2; v2) (u2; v2))

Преобразовав левую сторону этого равенства, получаем:

((u1; v1) (u2; v2)) (u2; v2) = (u1 u2 - 2v1; v2 u1 + v1 ū2) (u2; v2) = ((u1 u2 - 2v1)u2 -2(v2 u1 + v1ū2);

v2(u1 u2 - 2v1) - (v2 u1 + v1ū2) ū2) = (u1 u2 u2 - 2v1u2 -2v2 u1 -2v1ū2; v2u1u2 - v22v1 - v2 u1 ū2 - v1) = (u1 u2 u2 - 2v1 (u2 + ū2) – |v2|2 u1; v2u1 (u2 + ū2) - v1- |v2|2v1) .

 Скачать реферат