Алгебра октав

Обозначим: (0; 1) = е. Следовательно, на построенной модели выполняется и третья аксиома.

Из проверки второй и третьей аксиом следует, что любой элемент (и; v) , представим в виде u + ve, где и, v є К и е2 = -1. Действительно,

(u; v) = (u; 0) + (0: v) = (u; 0)

+ (v; 0) * (0; 1) = и + ve.

Проверим выполнение четвертой аксиомы. Пусть подалгебра алгебры , содержащее в себе тело кватернионов и элемент е. Ясно, что U/ К х К. Если мы покажем, что К х K U/, то тем самым совпадает с . Так как каждый элемент алгебры имеет вид u+ve, где и, v К. е2 = - 1, то u + vjU/, так как и, v К U/, e U/ и - альтернативная алгебра (а, следовательно, замкнута относительно сложения и умножения). Итак, К х K U/, откуда U/ = К х K и, следовательно, имеет место выполнение четвертой аксиомы.

Так как на построенной модели выполняются все четыре сформулированные выше аксиомы алгебры октав, то эта система аксиом алгебры октав непротиворечива.

Мы показали, что любая октава представима в виде u+ve. где и, v К. Пусть

u = a+bi+cj+dk, v = A+Bi+Cj+Dk, a,b,c,d, a,b,c,d R.

Тогда,

и + vе = a+bi+cj+dk + (A+Bi+Cj+Dk)e = a+bi+cj+dk+ Ae+B(ie)+C(je)+D(ke).

Вычислим

ie = (i; 0) (0; 1) = (i0 - 0; 1i + 0) = (0; i);

je = (j; 0) (0; 1) = (j0 - 0; 1j + 0) = (0; j);

ke = (k; 0) (0; 1) = (k0 - 0; 1k + 0) = (0; k),

откуда следует, что ie, je, ke отличны друг от друга и от предыдущих мнимых единид i, j, k, e.

Покажем, что (ie)2 = (je)2 = (ke)2 = -1. Действительно,

(ie)2 = (i; 0) (i; 0) = (ii - 0; 0i + 0ī) = (-1; 0) = -1;

(je)2 = (j; 0) (j; 0) = (jj - 0; 0j + 0ī) = (-1; 0) = -1;

(ke)2 = (k; 0) (k; 0) = (kk - 0; 0k + 0ī) = (-1; 0) = -1.

Следовательно, ie, je, ke можно выбрать в качестве новых мнимых единиц, обозначив их соответственно iе = I, je = J. ke = К и октаву w записать в виде

w = a+bi+cj+dk+ Ae+BI+CJ+DK,

где a,b,c,d, a,b,c,d R.

Эту форму записи октавы назовем алгебраической формой. Обозначим КхK=U и назовем U алгеброй октав.

1.2 Категоричность системы аксиом алгебры октав

Теорема 2. Система аксиом алгебры октав категорична.

Пусть (U, +, ., e) и (U1, ,, e1 ) - две модели алгебры октав и e2 = -1, e21 = Ө1.

Рассмотрим отображение Ф : U → U такое, что

Ф (u+ve) = uve1, u,v К.

Покажем, что Ф - гомоморфное отображение первой модели на вторую модель.

Пусть w1 = u1+v1e и w2 = u2+v2e. Тогда:

Ф(w1+ w2) = Ф((u1+v1e) + (u2+v2e)) = Ф((u1+u2)+(v1+v2)e) = (u1+u2)(v1+v2)e1 = (u1v1e1 ) (u2v2e1) = Ф(u1+v1e) Ф(u2+v2e) = Ф(w1)Ф(w2);

Ф(w1w2) = Ф((u1+v1e) (u2+v2e)) = Ф((u1u2 - 2v1)+(v2u1 + v1ū2)e) = (u1u2 - 2v1) (v2u1 + v1 ū2) e) =(u1u2 Ө 2v1)(v2u1 v1ū2)e) =(u1v1e1)( u2v2e1) = Ф(u1+v1e) Ф(u2+v2e) = Ф(w1) Ф(w2);

 Скачать реферат