Алгебра октав

(ху, ху) = (х, х)(у, у) . ()

Если положим =|х|. то равенство () записывается в виде:

|ху| = |х| |у|.

Из (ху, ху) = (х, х)(у, у) с

ледует, что если ху = 0, то либо х = 0, либо у = 0. В самом деле, тогда

(0, 0) = (х, х)(у, у) (х, х)(у, у) = 0,

откуда либо (х, х) = 0, либо (у, у) = 0. А тогда либо х = 0, либо у =0.

Лемма 1. Любой элемент линейной алгебры молено разложить на два слагаемых, одно из которых пропорционально какому-либо ненулевому элементу, а другое ортогонально ему.

Пусть e А, и ue, а - произвольный элемент из А. Покажем, что найдется такое k R, что a - kee. Тогда:

a - kee (a – ke, e) = 0 (a, e) – k(e, e) = 0.

Скалярное, произведение (е, е) ≠ 0, так как е ≠ 0. Тогда а = kе + (а - kе) = kе + u, где u = a - kee.

Следствие. Если - линейная алгебра с единицей 1, то для любого а А имеет место а = k1 + u, где u 1.

Пример 1. Пусть (C, +, .R, .) - поле комплексных чисел. Базисом в С являются 1, i. Скалярное произведение двух комплексных чисел z =а+bi и u =с+ di определим как (z, u) = (zū + u).

Так как

zū = (а+ bi)(с- di) = (ac+bd)+(bc-ad)i,

u= (с+ di)( а-bi) = (ac+bd)+(ad-cb)i,

то (z, u) = (zū + u) = ac+bd.

В частности,

(z, z) = (z+ z) = z= |z|2 = a2+b2.

Так как,

zu = (ac-bd)+(ad+bc)i,

то (zu, zu) = ((zu)*()+( zu)( ))=( zu)()=|zu|2 = (ac-bd)2+( ad+bc)2=

a2с2-2abcd + b2d2 + a2d2 + 2abcd + b2c2 = a2c2 + a2d2 + b2c2 + b2d2 =

a2 (c2 + d2) + b2 (c2 + d2) = (a2 + b2) (c2 + d2) = | z |2 | u |2 = (z, z)(u, и),

т.е. выполняется

(zu, zu) = (z, z)(u, и).

Проверим выполнение условий скалярного произведения:

1) (z, z) = | z |2 = a2 + b2 ≥ 0 и (z, z) = a2 + b2 = 0 a= 0b= 0 z=0;

2) (z, u) = (zū + u) = ( u+zū) =(u, z);

3) (z, ku) = (z+(ku) ) = k(zū + u) =k(z, u);

4) (z, u+v) = (z+( u+v) ) = (zū+z+ u+ v) =(zū+ u)+( z+ v) = (z+u)+(z+v).

Итак, все условия скалярного произведения при

(z, u) = (zū + u)

выполнены для комплексных чисел z и u.

Пример 2. Пусть - тело кватернионов. Базисом в К являются 1, i, j, k. Если

р = a+bi+cj+dk, q = a1+b1i+c1j+d1k,

то по свойству 6 сопряженных кватернионов

p+ q= 2(aa1 + bb1 + cc1 + dd1).

Возьмем в качестве скалярного произведения двух кватернионов р и q выражение

(p+ q) = aa1 + bb1 + cc1 + dd1.

Итак,

(p, q) = (p+ q).

В частности,

(p, p) = (p+ p)= p= |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2.

Проверим выполнение условий скалярного произведения:

1) (p, p) = |p|2 = a2+ b2 + c2 + d2 ≥ 0 и (p, p) = a2+ b2 + c2 + d2 = 0 a= 0b= 0 c= 0d= 0 p=0;

 Скачать реферат