Алгебра октав

Лемма 5. Для любых u, v А имеет место

(ue)v = (u)e. (9)

Воспользуемся тождеством (8) из следствия к лемме 3, положив в нем а = u, х = е, у = . Тогда:

(ue)v + (u)= 2(е, )u.

Так как е, то

(е, ) = 0 и (ue)v + (u)= 0.

Но = -е, так как е 1, тогда:

(ue)v + (u)(- е) = 0 (ue)v = (u)e.

Лемма 6. Для любых u, v A имеет место

u(ve) = (vu)e. (10)

Если в том же равенстве (8) положить а = 1, х = u, у = ve, то получаем:

(1*u)ve + 1*()ū = 2(u, ) * 1 u(ve) + ()ū = 2(u, ).

Так как u ve, то u , = -ve, в силу того, что из ve В следует ve 1. Следовательно,

u(ve) + (-ve)ū = 0 u(ve) = (ve)ū.

Воспользовавшись равенством (9), получаем, что (ve)ū = (vu)e. Тогда:

u(ve) = (vu)e.

Лемма 7. Для любых u, v А имеет место

(ue)(ve) = -u. (11)

Прежде всего убедимся, что если формула (11) верна при v = с и при v = d, то она имеет место и при v = c + d. Действительно, если

(uе)(се) = -u и (ue)(de) = -u, то

ue((c + d)e) = (ue)(ce + de) = (ue)(ce) + (ue)(de) = -u - u = - (+ )u.

Так как для любого v В имеет место v = k1+ v/, где v/ 1, то докажем равенство (11) по отдельности для k1 для v/. Тогда на основании сделанного выше замечания, равенство (11) будет справедливо и для v.

Итак, пусть v = k1, откуда (11) принимает вид:

k(ue)e == -ku (ue)e = -u -(ue) = -(e, e)u (uе) =u,

которое верно в силу равенства (5), если учесть, что = -е и (е, е) = 1.

Пусть теперь vl. Тогда = -v. Полагая в том же равенстве (8) а = u, х = е, у = -ve, получаем:

(ue)(ve) + (u(-ve)) = 2(е, - ve)u (ue)(ve) - (u(ve)) = -2(е, ve)u. (12)

Но (е, ve) в силу тождества (3) равно (1, v)(e, e) = 0, так как по условию v1. В ситу (10) второе слагаемое в последнем равенстве (12) равно

-(u(ve))= -((vu)e) = -vu = u (ue)(ve) = -u.

Теорема 2. Для любых u1 +u2e В+Be и v1 + v2e В+Be имеет место равенство:

(u1 + u2e)(v1 + v2e) = (u1v1 – 2u2) + (v2u1 + u21)e. (13) (13)

Воспользовавшись равенствами (9), (10) и (11), получаем:

(u1 + u2e)(v1+ v2e) = u1v1 + (u2e)v1 + u1(v2e) + (u2e)(v2e) = u1v1 + (u21)e + (v2u1)e - 2u2 = (u1v1 - 2u2) + (v2u2 + u21)e.

Теорема З. Любая подалгебра алгебры ,содержащая единицу и не совпадающая со всей алгеброй ,ассоциативна, т.е. для любых u, v, w А имеет место (uv)w = u(vw).

Снова воспользуемся равенством (8), положив в нем а =ve, х = , у = ūe. Тогда

((ve))(-ue) + ((ve)(ūe))w = 2(, ūe)(ve).

Так как

(, ūe) = (*1, ūe) = 0

 Скачать реферат