Алгебра октав

Умножим обе части первого уравнения этой системы справа на u-1=2 откуда:

x (uu-1) = y2 + 2 x = 2 (yū + ū).

Подставим полученное значение х во второе уравнение системы:

v2(yū + + ū) + yū = 0 (|u|2 + |v|2) yū = - vū

откуда при ū ≠ 0 следует, что у = - . и, подставив это значение у в первое уравнение системы, получаем

xu - = 1,

откуда следует, что

xu= 1 - = .

Умножим это равенство справа на u-1=, тогда

x = *=

Итак, пара

(x; y) = ; -

является и левым обратным элементом для элемента (u; v) в . Обозначим его (u, v)-1.

Левый и правый обратные элементы для (u; v) совпадают и, следовательно, каждый ненулевой элемент обратим в .

Из 1)-11) следует, что алгебра есть альтернативная линейная алгебра с делением и единицей, т.е. в данной модели первая аксиома полностью выполняется.

Проверим выполнение второй аксиомы на построенной модели.

Пусть U1 = {(u; 0)| u K}. Ясно, что U1 K x K.

Покажем, что множество U1 замкнуто относительно введенных ранее операций сложения и умножения:

(u1, 0) + (u2, 0) = (u1 + u2: 0 + 0) = (u1 + u2: 0) U1;

(u1, 0) (u2, 0) = (u1u2 – 0; 0 u1 + 0 ū2) = (u1 u2: 0) U1.

Далее:

- (u; 0) = (- u; - 0) = ( - u; 0) U1;

(u; 0)-1 == U1,

откуда следует, что есть под тело алгебры ,.

Покажем, что изоморфно телу кватернионов . Для этого рассмотрим отображение f : U1 → K такое, что ((u; 0) є U1) f ((u; 0)) = u, т.е. паре (и;0) ставит в соответствие кватернион и. Имеем:

f ((u1; 0) + (u2; 0)) = f ((u1 + u2: 0)) = u1 + u2 = f ((u1; 0)) + f ((u2; 0));

f (- (u; 0)) = f (( - u; 0)) = - u = - f ((u; 0));

f ((u1; 0) (u2; 0)) = f ((u1 u2: 0)) = u1u2 = f ((u1; 0)) f ((u2; 0));

f ((u; 0)-1) = f ((; 0)) = ; 0 = u-1 = f ((u; 0)) -1,

откуда следует, что отображение f является гомоморфным отображением алгебры в тело кватернионов. Это отображение биективно, так как

f ((u1; 0)) = f ((u2; 0)) u1 = u2 (и1; 0) = (и2; 0) и f (U1) = К.

Следовательно, отображение f есть изоморфизм тела на тело кватернионов (К, +, .), т.е. тело изоморфно телу кватернионов. В этом случае мы можем рассматривать тело как лишь другую модификацию тела кватернионов, а пару (u;0) отождествлять с кватернионом и. А так как есть подтело алгебры , то и изоморфное ему тело кватернионов является подтелом алгебры .

Проверим выполнение третьей аксиомы. Для этого возьмем пару (0; 1). Имеем:

(0; 1)2 = (0; 1) (0; 1) = (00 - 1; 10+1) = (-1; 0) = -(1; 0) = -(1; 0) = - 1.

С другой стороны:

(0; i) ≠ (i; 0) = i; (0: 1) ≠ (j; 0) = j; (0; k) ≠ (k; 0) = k.

 Скачать реферат