Алгебра октав
§7. Обобщенная теорема Фробениуса
Теорема. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением является нормированной линейной алгеброй.
Пусть - альтернативная линейная алгнбра с делением над полем действительных чисел R. Введем в A операцию сопряжения следующим образом: если элемент а
=13 height=13 src="images/referats/3160/image008.png">A пропорционален 1, то ā = а; если же а не пропорционален 1. то он содержится в комплексной подалгебре
. В этой подалгебре для элемента а имеется сопряженный элемент ā, который и примем за элемент, сопряженный к а в алгебре
.
Из определения ā непосредственно следует, что = а, а также
=kā, где k
R.
Пусть а A не пропорционален 1. Рассмотрим кватернионную подалгебру (K, +, .R, .), содержащую а. В этой подалгебре для а
A тоже имеется сопряженный элемент ā. Покажем, что а совпадает с ā.
Элементы а и ā, как сопряженные в комплексной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+ā = 2а* 1, где а R, (14)
а* ā = d*1, где d R. (15)
Элементы а и ā, как сопряженные в кватернионной алгебре, удовлетворяют условиям:
а+ ã = 2а1* 1, где а1 R, (14')
а * ã = d1 *1, где d1 R. (15/)
Вычтем из (14) и (15) соответственно (14/) и (15'). Тогда:
ā - ã = 2(a – a1)*1.
а (ā - ã) = (d- d1)* 1 2(a – a1)a*1.= (d- d1)* 1.
Если
a(ā - ã), то a = *1,
т.е. а пропорционален 1, что противоречит предположению.
Отсюда следует, что элемент, сопряженный к а, один и тот же, независимо от того, рассматриваем ли мы а как элемент комплексной подалгебры или же как элемент кватернионной подалгебры алгебры .
Точно так же |а|2 = аā как в случае комплексной подалгебры,так и в случае кватернионной подалгебры алгебры , так , что модуль элемента а
A не зависит от того, рассматриваем мы его как элемент комплексной или кватернионной подалгебры алгебры
.
Тогда для любых a, b А справедливы равенства:
=ā+
и
= ā *
. (16)
Если а и b принадлежат одной комплексной подалгебре алгебры, то равенства (16) есть свойства, сопряжения в этой подалгебре. Если же они принадлежат разным комплексным подалгебрам, то они будут верны как свойства сопряжения в кватернионной подалгебре алгебры
.
Из = b и из второго равенства (16) вытекает, что
= bā, откуда
a+ bā = с* 1, где с
R.
Определим в (A, +, .R, .) скалярное произведение (а, b) как
a+ bā = 2(а, b) * 1.
Покажем, что (а, b) удовлетворяет всем свойствам скалярного произведения:
1) (а, а) > 0 при а ≠ 0 и (0, 0) = 0.
В самом деле,
(а, а) * 1 = (аā + аā) = аā = |а|* 1,
а модуль комплексного числа, так же как модуль кватерниона, сторого положителен при а ≠ 0 и равен 0 при а = 0.
2) (a, b) = (b. а), так как
a+ bā = 2(a, b)* 1, bā + a
= 2(b, a)* 1,
но
a+ bā = bā + a
, тогда (a, b) = (b, a).
3) (a, kb) = k(a, b) при k R.
Действительно,
(a, kb) = (a(
) + kbā) =
(a(k
) + kbā) = k
(a
+ bā) = k(a, b).
4) (a, b1 + b2) = (a, b1) + (a, b2)
следует из определения скалярного произведения и первого равенства (16).
Из (а, а) = |а|2 1 следует, что
= |а|, т.е. норма элемента a
А совпадает с модулем а как комплексного числа, так и кватерниона.
Так как любые два элемента а и b из алгебры принадлежат одной комплексной или одной кватернионной подалгебре, то
|ab|2 = |a|2 |b|2
(ab, ab) = (a, a)(b, b).
Следовательно, все свойства скалярного произведения для (а, b) выполняются. Отсюда следует, что алгебра есть нормированная линейная алгебра.
Обобщенная теорема Фробениуса. Любая альтернативная линейная алгебра над полем действительных чисел с делением и единицей изоморфна одной из четырех алгебр: полю действительных чисел, полю комплесных чисел, телу кватернионов или алгебре октав.
Другие рефераты на тему «Математика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Анализ надёжности и резервирование технической системы
- Алгоритм решения Диофантовых уравнений
- Алгебраическое доказательство теоремы Пифагора
- Алгоритм муравья
- Векторная алгебра и аналитическая геометрия
- Зарождение и создание теории действительного числа
- Вероятностные процессы и математическая статистика в автоматизированных системах