Локальные формации с метаабелевыми группами

Рефераты / Математика / Локальные формации с метаабелевыми группами

Так как , то по лемме 3.10 подгруппа является -группой. Но тогда , так как по теореме 3.3 имеет место равенство .

Теорема доказана.

Лемма Чунихин 8 Пусть , , . Тогда . В частности, если и , то непростая.

Доказательство. Из равенства следует, что

Следовательно, . Отсюда, ввиду для любого , получаем . Лемма доказана.

Теорема Виландт 9 Группа разрешима, если она имеет три разрешимые подгруппы, индексы которых в попарно взаимно просты.

Доказательство. Пусть группа имеет разрешимые подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. Тогда . Пусть – минимальная нормальная подгруппа из . Так как разрешима, то , – простое число. Ввиду условия теоремы, не делит одновременно и . Пусть, для определенности, не делит . Это значит, что силовская -подгруппа из является силовской -подгруппой группы . Ввиду теоремы Силова , где . Так как и , то по лемме . Таким образом, – неединичная разрешимая нормальная подгруппа группы . В фактор-группе индексы подгрупп , и попарно взаимно просты. По индукции разрешима, но тогда и разрешима. Теорема доказана.

Следуя Крамеру, введем следующее определение.

Определение. Класс групп называется -замкнутым ( – натуральное число), если содержит всякую группу , имеющую -подгрупп, индексы которых в при попарно взаимно просты.

По определению, пустая формация -замкнута для любого . Единственной -замкнутой непустой формацией, отличной от , условимся считать .

Лемма 10 Пусть и – -замкнутые классы групп. Тогда также -замкнут.

Доказательство очевидно.

Следующая лемма доказана Крамером.

Лемма 11 Пусть формация содержится в и -замкнута, . Тогда формация является -замкнутой.

Доказательство. Пусть группа имеет -подгруппы , ,…, , индексы которых в попарно взаимно просты. Так как , то по теореме группа разрешима. При любом гомоморфизме группы образы подгруппы принадлежат и имеют попарно взаимно простые индексы. Поэтому можно считать, что -корадикал группы является ее единственной минимальной нормальной подгруппой. Ясно, что является -группой для некоторого . Подгруппа Фиттинга группы также является -группой. Индекс любой подгруппы, не содержащей , делится на . Поэтому содержится по крайней мере в подгруппах нашей системы подгрупп . Будем считать, что , . Так как является -группой, то и поэлементно перестановочны, . Отсюда и из следствия вытекает, что , . Так как , то мы получаем, что , . Воспользовавшись -замкнутостью формации , мы приходим к тому, что .