Локальные формации с метаабелевыми группами

Если неабелева, то и . Если же – -группа, то получается, что 17 src="images/referats/632/image073.gif">-центральна в . А это противоречит тому, что . Теорема доказана.

Локальная формация

Неединичная формация, имеющая локальный экран, содержит некоторые неединичные примарные группы.

Определение 4.1. Формация называется локальной, если она имеет хотя бы один локальный экран.

Определение 4.2. Пусть – внутренний локальный экран формации , являющийся максимальным элементом множества всех внутренних локальных экранов формации . Тогда называется максимальным внутренним локальным экраном формации .

Теорема 4.1. (Картер и Хоукс [1], Шмид [5]). Локальная формация имеет единственный максимальный внутренний локальный экран , причем удовлетворяет следующему условию: для любого простого числа p.

Определение 4.3. Пусть – локальная формация. Минимальный элемент множества всех локальных экранов формации назавем минимальным локальным экраном формации .

Теорема 4.2. Локальная формация имеет единственный минимальный локальный экран, который является к тому же внутренним экраном.

Доказательство. Пусть – множество всех локальных экранов формации , причем . Обозначим через пересечение множества экранов . В множестве имеется внутренний экран, поэтому – внутренний экран формации . По лемме 3.4 экран является локальным. Ввиду леммы 3.8 – искомый экран.

Построение локальных формаций

1. Формация всех групп. Формация обладает локальным экраном таким, что для любого простого .

2. Формация единичных групп. Формация имеет пустой экран, который, очевидно, локален.

3. Формация нильпотентных -групп. Пусть – формация всех нильпотентных -групп, – такой локальный экран, что для любого для любого . Очевидно, – минимальный локальный экран формации .

4. Формация -групп. Пусть – формация всех -групп, – такой локальный экран, что для любого для любого . Очевидно, – макcимальный внутрений локальный экран формации .

5. Формация -нильпотентных групп. Пусть – формация всех -нильпотентных групп ( – фиксированное простое число), – такой локальный экран, что для любого простого числа , отличного от . Покажем, что – экран формации . Главный ряд -нильпотентной группы -централен. Пусть . Нужно установить, что -нильпотентна. Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . По индукции -нильпотентна. Если – -группа, то отсюда следует, что и -нильпотентна. Если же -группа, то , т.е. . Если теперь – -подгруппа из , то ввиду подгруппа -нильпотентна, а значит, и -нильпотентна. Тем самым показано, что .

 Скачать реферат