Локальные формации с метаабелевыми группами

Лемма доказана.

Теорема Крамер 12 Пусть – такой локальный -экран формации , что для любого простого формация ht=21 src="images/referats/632/image293.gif">-замкнута, . Тогда -зaмкнута.

Доказательство. Так как – -экран, то для любого простого , а значит, . Пусть . Ввиду леммы 4.5 . Если , то и -замкнута; если же , то по лемме формация -замкнута. В любом случае -замкнута. По лемме -замкнута. Применяя лемму , мы видим, что и формация -замкнута. Теорема доказана.

Так как формация имеет единичный экран, удовлетворяющий условию теоремы при , то мы получаем

Следствие Кегель 13 Группа нилъпотентна, если она имеет три нилъпотентные подгруппы, индексы которых в попарно взаимно просты.

Этот факт вытекает также и из следующего результата Кегеля.

Лемма 14 Класс всех -замкнутых групп -замкнут.

Доказательство такое же, как и у теоремы .

Лемма 15 Каждая формация нилъпотентных групп является -замкнутой.

Доказательство. Пусть – некоторая формация нильпотентных групп. Пусть группа имеет -подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. Тогда по следствию группа нильпотентна. Если – наивысшая степень простого числа , делящая , то делит для некоторого , так как не может делить одновременно индексы всех подгрупп , и . Если делит , то силовская -подгруппа из входит в и является силовской -подгруппой группы . Тем самым показано, что все силовские подгруппы нильпотентной группы являются -группами. Так как – формация, то отсюда следует, что .

Лемма доказана.

Лемма 16 Пусть – некоторый -замкнутый гомоморф -замкнутых групп. Тогда класс -замкнут.

Доказательство. Пусть группа имеет -подгруппы , и с попарно взаимно простыми индексами. По лемме имеет нормальную силовскую -подгруппу . Поскольку является силовской -подгруппой в и – гомоморф, то . В группе индексы подгрупп , и попарно взаимно просты. Поэтому ввиду -замкнутости имеем . Лемма доказана.

 Скачать реферат