Локальные формации с метаабелевыми группами

2) Будет ли -замкнутой для любого простого , если -замкнута?

Мы дадим положите

льный ответ на эти вопросы в некоторых конкретных случаях.

Теорема Слепова 1 Пусть – некоторый класс групп, – максимальный внутренний локальный экран формации , – фиксированное простое число. Тогда справедливы следующие утверждения:

1) если , то ;

2) если , то .

Доказательство. Будем доказывать оба утверждения одновременно. Пусть – одна из операций , . Предположим, что . Пусть – (нормальная) подгруппа группы и . Рассмотрим регулярное сплетение , где , – элементарная абелева -группа. По лемме 3.11 . Так как , то . Рассмотрим главный ряд группы :

Пусть . Так как и , то

для любого . Следовательно, , где . По свойству регулярного сплетения . Следовательно, , и по лемме 3.10 () подгруппа является -группой. Так как и формация является по теореме 3.3 -замкнутой, то мы получаем, что . Теорема доказана.

Теорема Подуфалова, Слепова 2 Пусть – максимальный внутренний локальный экран формации . Формация -замкнута (-замкнута) тогда и только тогда, когда для любого простого формация -замкнута (соответственно -замкнута).

Доказательство. Необходимость. Предположим, что -замкнута (-замкнута). Полагая и применяя теорему , мы получаем, что -замкнута (-замкнута) для любого простого .

Достаточность. Пусть для любого простого формация является -замкнутой (-замкнутой). Пусть – подгруппа (нормальная подгруппа) неединичной группы . Покажем, что . Так как , то обладает -центральным главным рядом

Пусть . Так как

то , где . Пусть . По условию и . Отсюда, ввиду , вытекает, что . Тем самым установлено, что ряд

является -центральным рядом группы . Теорема доказана.

 Скачать реферат