Локальные формации с метаабелевыми группами

Доказательство. Если , то Пусть Если , то , а значит, rc="images/referats/632/image144.gif">. Таким образом, . Пусть . Тогда имеет такие нормальные подгруппы , что Группа имеет такие нормальные подгруппы , что Так как , то , что и доказывает равенство

Лемма 2.3. Для любого класса имеет место включение

Доказательство. Если , то . Пусть и группа является подпрямым произведением групп , где . Рассмотрим функцию . Функция является гомоморфизмом группы в группу . Ясно, что

есть подпрямое произведение групп , причем . Следовательно, , и лемма доказана.

Лемма 2.4.

В работе Фишера, Гашюца и Хартли [1] введено следующее понятие, в некотором смысле двойственное определению формации.

Определение 2.3. Класс групп называется классом Фиттинга, если он одновременно -замкнут и -замкнут.

Класс Фиттинга мы будем в дальнейшем называть иначе радикальным классом. Ввиду двойственности (нормальная подгруппа – фактор-группа) формацию можно было бы назвать корадикальным классом.

Определение 2.4. Пусть непустой -замкнутый класс, содержащий 1. Обозначим через и назовем - радикалом группы произведение всех ее нормальных -подгрупп.

Классы являются радикальными. -радикал группы – это ее подгруппа Фиттинга -радикал обозначают иначе через и называют -радикалом. -радикал называют разрешимым радикалом; понятны также термины -нильпотентный радикал, -замкнутый радикал и т.д. Класс всех -нильпотентных групп является одновременно радикальным и корадикальным; – это -нильпотентный радикал группы .

В дальнейшем мы будем изучать формации, замкнутые относительно тех или иных операций; в частности, будут рассматриваться радикальные формации, т.е. формации, являющиеся одновременно и классами Фиттинга. Сейчас мы обратимся к задаче построение формаций с помощью операций

Теорема 2.1. Пусть и – формации, причем либо , либо замкнута относительно нормальных подгрупп. Тогда – формация, совпадающая с произведением

Определение 2.5. Пусть – некоторое множество групп. Пусть – пересечение всех тех формаций, которые содержат класс называется формацией, порожденной множеством групп

Заметим, что операцию часто обозначают иначе через Если то пишут вместо , причем в этом случае называют формацией, порожденной группой .

 Скачать реферат