Локальные формации с метаабелевыми группами

Для любого натурального числа -замкнутый класс содержит, по определению, каждую группу , представимую в виде произведения src="images/referats/632/image453.gif">нормальных -подгрупп. Ослабляя это требование, мы приходим к следующему определению.

Определение. Класс групп назовем слабо -замкнутым, , если содержит всякую группу , имеющую нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами.

Легко заметить, что если и – подгруппы группы причем и взаимно просты, то .

Теорема Слепова 3 Пусть – локальный экран формации и пусть для некоторого натурального числа выполняется следующее условие: для любого простого формация либо совпадает с , либо входит в и является слабо -замкнутой. Тогда слабо -замкнута.

Доказательство. Предположим, что теорема неверна. Тогда существуют группы, не входящие в , но имеющие нормальных -подгрупп с попарно взаимно простыми индексами. Выберем среди всех таких групп группу наименьшего порядка. Таким образом, не принадлежит , но имеет нормальные -подгруппы с попарно взаимно простыми индексами. Ясно, что все подгруппы неединичны.

Пусть – минимальная нормальная подгруппа группы . В подгруппы имеют попарно взаимно простые индексы и принадлежат . Так как для теорема верна, то . Ясно, что – единственная минимальная нормальная подгруппа группы , причем и для любого . Ввиду теоремы 4.3 . Так как , то найдется такое , что . Рассмотрим , где пробегает все -главные факторы группы . Так как , то , . Возможны два случая.

Случай 1. Пусть . Тогда неабелева и . Отсюда и из единственности вытекает, что . Но тогда и, следовательно, можно рассматривать как некоторую группу автомор – физмов группы , действующую тождественно на всех -главных факторах группы . По хорошо известной теореме Ф. Холла нильпотентна. Так как к тому же нормальна в , то . Но тогда для любого , а так как формация слабо -замкнута по условию, то . Но тогда , так как и по условию . Получили противоречие.

 Скачать реферат