Рассеяние рентгеновских лучей на молекулах фуллерена

2.2.2. Волновая функция

Рассмотрим источник, совершающий гармонические колебания в материальной среде с частотой w. Тогда его движение описывается функцией вида [Acos(wt + φ0)]. Пусть начальная фаза j0 равна нулю. Тогда координата источника является следующей функцией времени.

x = A cos(wt) (2.1)

Из-за взаимодействия частицы окружающей среды вовлекаются в движения, котор

ое также будет являться гармоническими колебаниями. Но межчастичное взаимодействие происходит не мгновенно, поэтому колебания соседних частиц будут происходить со сдвигом во времени. Из-за конечной и постоянной скорости передачи взаимодействия этот сдвиг колебаний во времени прямо пропорционален расстоянию очередной частицы от источника.

Из предыдущих примеров следует, что в результате в среде будут распространяться возмущения, называемые волновыми. В случае поверхностных волн это возмущение представляет собой отклонение частиц воды от поверхности в спокойном состоянии. В случае звуковых волн возмущением является отклонение плотности воздуха от средней плотности воздуха в спокойном состоянии. Независимо от вида волн (продольных или поперечных) это возмущение должно описываться некоторой функцией времени и координат.

В точке источника возмущение является функцией времени, совпадающей с (2.1)

y(0, t) = A cos(wt). (2.2)

Рассмотрим распространение гармонического возмущения в направлении, заданном осью координат 0Z. Согласно вышеизложенному, частицы материальной среды, находящиеся на расстоянии z от источника, совершают гармонические колебания с запаздыванием по времени (из-за конечной скорости распространения взаимодействия). Следовательно, возмущение в точке z и в произвольный момент времени t совпадает с возмущением в точке z = 0 источника в некоторый предыдущий момент времени t¢

y(z, t) = y(0, t¢) (2.3)

Скорость распространения возмущения в данной среде наглядно выражается скоростью движения горба (или впадины) у поверхностных волн или скоростью движения уплотнения (или разрежения) у звуковой волны. Эту скорость vf называют фазовой скоростью волны. Таким образом горб, впадина или любой другой вид возмущения среды пробегает расстояние z за время z/vf.

Фазовая скорость позволяет связать моменты времени t¢ и t следующим соотношением

(2.4)

Используя соотношения (2.2) – (2.4), получим выражение для функции возмущения в следующем виде:

(2.5)

Полученное выражение называется гармонической волновой функцией или короче – гармонической волной.

В случаях однородных сред и малых возмущений фазовая скорость является постоянной величиной.

Введем новую величину, называемую волновым числом, следующим отношением:

k = ω / vf(2.6)

С помощью волнового числа гармоническая волновая функция (2.5) запишется в виде:

y(z, t) = A cos(ωt – kz) (2.7)

Рассмотрим величину A. Эта величина является амплитудой волны. Как уже было сказано, амплитудой волны называется максимальное отклонение частицы от положения равновесия. Амплитуда волны может изменяться с течением времени (из-за воздействия внешних сил).

Фазой волны будет называться величина, стоящая под знаком тригонометрической функции. В зависимости от начальных условий фаза волновой функции может содержать постоянное слагаемое j0 ¹ 0. Фазой волны является функцией двух аргументов времени и координаты.

Заметим, что функция (2.8) описывает волновой процесс бесконечный в пространстве и во времени.

Рассмотрим физический смысл величины k. Выберем момент времени t=0. Волновая функция (2.8) примет вид:

A cos(k z) (2.8)

Функция (2.9) может интерпретироваться как мгновенная фотография волнового процесса. Видно, что эта функция периодична в пространстве.

Согласно определению периода, следующее равенство выполняется при любых значениях координаты z

A Cos(k (z + l)) = A Cos(k z)

Величина l называется длиной волны. Она представляет собой минимальное расстояние между точками с одинаковой фазой (горбами, впадинами и т.п.).

Если косинусы равны, то из аргументы различаются на 2π

k (z+l) = k z +2π (2.9)

Путем несложных преобразований получим следующее выражение:

λ = 2π/k(2.10)

Отсюда следует, что величина k обратно пропорциональна длине волны λ.

Рассмотрим множество точек пространства, в которых фаза волны остается равной нулю.

wt – kz = 0(2.11)

Алгебраическое преобразование дает:

z/t = w/k(2.12)

Отношение z/t, стоящее слева, выше было определено как фазовая скорость. Согласно (2.13), фазовая скорость плоской гармонической волны равняется

vF. = w/k(2.13)

Из соотношения (2.15) также видно, что для гармонической бегущей волны в фиксированный момент времени скорость возрастания фазы на единицу длины и есть величина k (волновое число) равная

k = w / vF(2.14)

Выше были рассмотрены пример гармонических волн. Но в природе такие волны встречаются очень редко. Чаще встречаются волны затухающие, т.е. волны, у которых скорость (из-за сопротивления воздуха, сил трения или других диссипативных сил) с течением времени обращается в ноль. Функции, полученные нами ранее, недействительны для затухающих волн.

Выше рассматривались волны, распространяющиеся вдоль границы раздела двух сред, и волны, распространяющиеся в объемах вещества. Например, в воздухе могут распространяться только продольные звуковые волны, а в металле и продольные, и поперечные.

Кроме того, волны можно различать по форме поверхности постоянной фазы. Важными частными случаями являются плоские и сферические волны.

2.2.3. Электромагнитные волны

Известно, что изменяющееся магнитное поле порождает электрическое. Если предположить, что меняющееся электрическое поле порождает магнитное поле, то можно предположить, как это сделал Максвелл, что из-за этого будет образовываться электромагнитная волна. И лишь потом, в 1886 году, Герцем было экспериментально доказано, что Максвелл был прав. Герц в своих опытах, уменьшая число витков катушки и площадь пластин конденсатора, а также раздвигая их, совершил переход от закрытого колебательного контура к открытому колебательному контуру (вибратору Герца), представляющему собой два стержня, разделенных искровым промежутком. Если в закрытом колебательном контуре переменное электрическое поле сосредоточено внутри конденсатора, то в открытом оно заполняет окружающее контур пространство, что существенно повышает интенсивность электромагнитного излучения. Колебания в такой системе поддерживаются за счет э. д. с источника, подключенного к обкладкам конденсатора, а искровой промежуток применяется для того, чтобы увеличить разность потенциалов, до которой первоначально заряжаются обкладки. Для возбуждения электромагнитных волн вибратор Герца 8 подключался к индуктору. Когда напряжение на искровом промежутке достигало пробивного значении, возникала искра, и в вибраторе возникали свободные затухающие колебания. При исчезновении искры контур размыкался, и колебания прекращались. За тем индуктор снова заряжал конденсатор, возникала искра, и в контуре опять наблюдались колебания и т.д. Для регистрации электромагнитных волн Герц пользовался другим вибратором, имеющим такую же частоту собственных колебаний, что и излучающий вибратор, т.е. настроенным в резонанс с вибратором. Когда электромагнитные волны достигали резонатора, то в его зазоре проскакивала электрическая искра.

 Скачать реферат