Рассеяние рентгеновских лучей на молекулах фуллерена

Dj = k×DL(3.24)

где k – волновое число

k = 2π/l. (3.25)

Для расчета разности хода вторичных волн (3.23) сначала предположим, что облучаемый образец представляет собой одномерную цепочку атомов, расположенных вдоль оси координат Ox (см. рис.3.9). Координаты атомов заданы числами xi, (j = 0, 1, …, N–1), где x0 = 0. Поверхность постоянной фазы первичной плоской волны паралле

льна цепочке атомов, а волновой вектор k0 – перпендикулярен ей.

Будем рассчитывать плоскую дифракционную картину, т.е. угловое распределение интенсивности рассеянного излучения в плоскости, изображенной на рис.3.9. В этом случае, ориентация месторасположения детектора (иначе говоря, направление вспомогательной оси Or) задается углом рассеяния, который отсчитывается от оси Oz, т.е. от направления волнового вектора k0 первичной волны.

Рис.3.9. Геометрическая схема дифракции Фраунгофера в заданной плоскости на прямолинейной цепочке атомов

Без потери общности рассуждений можно полагать, что все атомы расположены на правой полуоси Ox. (кроме атома находящегося в центре координат).

Так как выполнены условия дифракции Фраунгофера, то волновые векторы всех волн, рассеянных атомами, приходят во входное окно детектора с параллельными волновыми векторами k.

Из рис.3.9 следует, что волна, испущенная атомом с координатой xi проходит расстояние до детектора L – xi sin(q). Следовательно, колебание чувствительного элемента детектора, вызванного вторичной волной, испущенной атомом с координатой xi, описывается функцией

A1 f(q) cos(wt – k(L– xj sin(q)) + j0) (3.26)

Аналогичный вид имеют остальные рассеянные волны, попадающие в окно детектора, находящегося в заданном положении.

Величина начальной фазы j0 определяется, в сущности, моментом начала отсчета времени. Ничто не мешает выбрать величину j0 равным –kL. Тогда движение чувствительного элемента детектора, представится суммой

(3.27)

Это означает, что разность хода волн, рассеянных атомами с координатами xi и x0 составляет –xi sin(q), а соответствующая разность фаз равна k xi sin(q).

Частота w колебаний электромагнитных волн рентгеновского диапазона очень велика. Для рентгеновских лучей с длиной волны l = Å частота w по порядку величины составляет ~1019 сек-1. Современная аппаратура не может измерить мгновенные значения напряженностей электрического и магнитного полей (1) при столь быстрых изменениях полей, поэтому все детекторы рентгеновского излучения регистрируют среднее значение квадрата амплитуды электромагнитных колебаний.

Регистрируемая интенсивность рентгеновских лучей, рассеянных атомами облучаемого образца, представляет собой квадрат амплитуды суммарного колебания (11). Для вычисления этой величины целесообразно воспользоваться методом комплексных амплитуд. Каждое слагаемое суммы (11) запишем в комплексной форме

A1 f exp [i(wt – Djj)] (3.28)

где i – мнимая единица, Djj – сдвиг фазы, равный в рассматриваемой физической картине kxj sin(q).

Выражение (12) перепишем в виде

A1 f eiwt e–iDjj (3.29)

Сомножитель, зависящий от времени, описывает колебания электромагнитного поля с частотой w. Модуль этой величины равен единице. Как следствие, комплексная амплитуда электромагнитного колебания, выраженного функцией (12) имеет вид:

A1 f exp [–iDjj] (3.30)

Комплексная амплитуда суммарного колебания, регистрируемого детектором равна сумме величин (3.30), причем суммирование проводится по всем центрам рассеяния – т.е. по всем атомам облучаемого образца. Квадрат реальной части указанной суммы определяет регистрируемую интенсивность рассеянного рентгеновского излучения

(3.31)

с точностью до аппаратурного коэффициента (сомножителя, определяемого характеристиками регистрирующей аппаратуры).

Интенсивность (3.31) является функцией полярного угла q и описывает в плоскости xoz угловое распределение рентгеновских лучей, рассеянных цепочкой атомов, расположенных вдоль оси ox.

Теперь рассмотрим рассеяние рентгеновских лучей на конечном множестве атомов, находящихся в одной плоскости. Пусть на эту систему атомов падает плоская рентгеновская волна с волновым вектором k0, перпендикулярным плоскости атомов.

Свяжем с данной физической системой оси декартовых координат. Ось oz направим вдоль вектора k0, а оси ox и oY расположим в плоскости атомов. Положение каждого атома задается двумя координатами xj и yj, где j = 0, … N – 1. Пусть начало координат совмещено с центром одного из атомов, который имеет номер j = 0.

Рассмотрим рассеяние рентгеновских лучей в полупространство z > 0. При этом можно полагать, что детектор перемещается по полусфере определенного радиуса R, который много больше размера облучаемого образца. Направление на детектор в условиях дифракции Фраунгофера совпадает с волновыми векторами k рассеянных волн, приходящих во входное окно детектора. Это направление характеризуется двумя углами: полярным q, который откладывается от оси oz (как на рис.3.9 и 3.10), и азимутом Ф, который отсчитывается от оси ox в плоскости xoY (см. рис.3.10). Иначе говоря, q - угол между волновыми векторами первичной k0 и рассеянной k волн. Азимут Ф представляет собой угол между осью OX и проекцией вектора k на плоскость XOY.

Как и предыдущем случае одномерной цепочки атомов, амплитуда суммарного колебания, регистрируемая детектором определяется относительными сдвигами фаз когерентных волн, рассеянных отдельными атомами. Сдвиг фаз рассеянных волн связан с разностью хода соотношением (3.24), как и в выше рассмотренном случае.

Найдем разность хода между волнами, рассеянными атомами с координатами (x0=0, y0=0) и (x, y) в направлении, заданном волновым вектором k (т.е. определенными углами q и Ф). Проведем вспомогательную ось OU вдоль проекции вектора k на плоскость XOY (см. рис.3.10).

Рис.3.10. К расчету разности хода вторичных волн, рассеянных на плоской системе атомов в условиях дифракции Фраунгофера.

Точка F на оси OU – проекция центра j-го атома. Длина отрезка OF равняется x cos(Ф) + y sin(Ф), что можно получить преобразованием координат или геометрическим построением. Проекция отрезка OF на направление волнового вектора k дает искомую разность хода – длину отрезка OG, равную

Dl = [x cos(Ф) + y sin(Ф)] sin(q). (3.32)

Следовательно, сдвиг фаз вторичных волн, рассеянными атомами с координатами (x0=0, y0=0) и (xj, yj) в направлении, заданном определенными углами q и Ф, равняется

Djj = k [xj cos(Ф) + yj sin(Ф)] sin(q). (3.33)

Регистрируемая интенсивность рассеянного рентгеновского излучения выражается формулой, аналогичной (3.31):

(3.34)

Наконец, рассмотрим дифракцию Фраунгофера рентгеновских лучей на трехмерном объекте. Воспользуемся системой декартовых координат, использованной в предыдущей задаче. Отличие физической картины от предыдущей заключается лишь в том, что центры некоторых атомов имеют координаты zj ¹ 0.

 Скачать реферат