Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики

.

Найдем теперь его хаусдорфову или фрактальную размерность. Для этого выберем в качестве «эталона» отрезок длиной

Минимальное число таких отрезков, необходимых для покрытия множества, равно

Поэтому его фрактальная размерность

.

Также, размерность можно определить, исходя из зависимости изменения размеров той части пространства, которую занимает объект , от изменения его линейных размеров [51]:

(2)

Для линии . Для плоскости . Для объема .

Проделаем такой эксперимент: возьмем равносторонний треугольник и будем последовательно заменять каждую линию, составляющую его, на четыре других, как это показано на рисунке 10.

Рисунок 10. Построение снежинки Кох

Повторяя эту операцию достаточно долго, мы получим некий объект, напоминающий своим внешним видом снежинку (называется - снежинка Кох), причем с каждым шагом длина кривой, ограничивающей площадь снежинки, увеличивается на одну треть. Ее размерность будет равна , так как при каждом увеличении снежинки в три раза длина кривой увеличивается в четыре. Если устремить число итераций к бесконечности, получится объект, конечная площадь которого ограничивается бесконечной кривой.

4.4 Показатель Херста и R/S-анализ временных рядов

Одним из наиболее популярных методов нелинейной динамики является анализ временных рядов на основе вычисления показателя Херста, который получил название – R/S-анализ (rescaled range analysis). Метод был предложен английским исследователем Гарольдом Херстом. На протяжении длительного периода времени Херст занимался исследованием Нила и решением задач, связанных с накоплением водных ресурсов. Он открыл новый статистический метод – метод нормированного размаха [52]. Херст показал, что большинство естественных явлений, включая речные стоки, изменения температуры, осадки, рост колец деревьев, солнечные пятна следуют «смещенному случайному блужданию» – тренду с шумом. Величина коэффициента (показатель Херста) характеризует отношение силы тренда (детерминированный фактор) к уровню шума (случайный фактор). Метод Херста применим и для изучения временных рядов в экономике и на рынках капитала, и позволяет выяснить, являются ли эти ряды также смещенными случайными блужданиями.

Используя безразмерное отношение нормированного размаха можно сравнивать различные явления. Херст обнаружил, что для многих временных рядов наблюдаемый нормированный размах хорошо описывается эмпирическим соотношением:

, (3)

где– некоторая константа,

– текущее значение длины выборки,

- показатель Херста (принимает значения от 0 до 1).

Размах вариации измеряемой случайной величины определяется как разность максимального и минимального накопившегося отклонения:

,

- длина всей выборки

Накопившееся отклонение значений случайной величины от ее среднего значения за время рассчитывается как:

.

Для сравнения различных типов временных рядов Херст разделил размах вариации на стандартное отклонение исходных наблюдений, рассчитываемое по формуле:

.

Прологарифмировав соотношение (3), получим:

. (4)

Для оценки показателя Херста значения как функции от откладываются в двойной логарифмической шкале. Полученные точки аппроксимируются с помощью метода наименьших квадратов, и через угол наклона прямой определяется величина .

Если рассматриваемый временной ряд обладает долговременной памятью, то его R/S-траектория факт исчерпания памяти о начале ряда демонстрирует так называемым «срывом с тренда» или, в другой терминологии, сменой направления тренда, вдоль которого следует определенное количество начальных точек R/S-траектории [53].

Вышеуказанный термин «смена тренда» подразумевает, что точки R/S-траектории, следующие после точки смены тренда, уже «не возвращаются» к первоначальному тренду.

На основании компьютерных экспериментов для временных рядов было сформулировано следующее определение трендоустойчивого начального отрезка временного ряда, заканчивающегося точкой исчерпания этого тренда:

1. Определенное количество точек, относящихся к началу R/S-траектории, следуют вдоль линейного тренда.

2. После точки R/S-траектория меняет тренд, причем, последующие точки этой траектории «не возвращаются» к первоначальному тренду.

3. Временной ряд ординат точек Н-траектории (;) при переходе от к получает отрицательное приращение; при этом точка Н-траектории находится в зоне черного шума, то есть значение показателя Херста .

 Скачать реферат