Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики

Как правило, точка смены тренда R/S-траектории появляется с лагом, в силу чего номер точки смены тренда этой траектории является верхней оценкой глубины памяти о начале рассматриваемого временного ряда.

При построении R/S-траектории и H-траектории необходимо учитывать, что R/S-анализ в силу алгоритмической особенности не вычисляет координаты , соответствующие двум первым уровням исследуемого временного ряда, то есть для и .

Применительно к финансовым данным можно использовать следующую трактовку: показатель Херста измеряет влияние информации на временной ряд данных. Значение подразумевает случайное блуждание, что является подтверждением гипотезы эффективного рынка. В этом случае события некореллированны, все новости уже впитаны и обесценены рынком. В противоположность этому при события сегодня будут иметь значение завтра, то есть полученная информация продолжает учитываться рынком некоторое время спустя. Это не просто автокорреляция, когда влияние информации быстро падает (кратковременная «марковская» память), а это долговременная память. Она обусловливает информационное влияние в течение больших периодов времени и характеризуется длиной цикла.

Влияние настоящего на будущее может быть выражено корреляционным соотношением [54]:

, (5)

где– мера корреляции,

– показатель Херста.

Для очень большого количества наблюдений можно ожидать сходимости ряда к величине , так как эффект памяти уменьшается до того уровня, когда становится незаметным. Другими словами, в случае длинного ряда наблюдений можно ожидать, что его свойства станут неотличимы от свойств обычного броуновского движения, или простого случайного блуждания, поскольку эффект памяти рассеивается. Регрессия в этом случае должна выполняться до того как приблизится к 0.5, так как корреляционная мера не применима ко всем без исключения приращениям.

Важно напомнить, что корреляционная мера не имеет отношения к автокорреляционной функции гауссовских случайных переменных. Последняя предполагает гауссовские или почти гауссовские свойства лежащего в основе распределения – хорошо знакомую колоколообразную кривую. Автокорреляционная функция хорошо работает в определенных краткосрочных зависимостях, однако имеет тенденцию преуменьшать долгосрочные корреляции в негауссовских рядах [55].

На рисунке 11 в двойных логарифмических координатах представлена кривая зависимости от для , построенная по данным, полученным с помощью генератора псевдослучайных чисел с гауссовским выходом, и показывает . Эта оценка немного выше, чем ожидалось, но эти псевдослучайные числа сгенерированы детерминистическим алгоритмом, что может быть причиной смещения. Важно заметить, что R/S-анализ – это исключительно устойчивый метод. В его основе нет предположения о гауссовском распределении. Найденное значение не является доказательством того, что налицо гауссовское случайное блуждание, оно доказывает только то, что это процесс, который отличается короткой памятью. Другими словами, любая независимая система, гауссовская или какая-либо другая, может продуцировать .

Рисунок 11. R/S-анализ: случайные гауссовские числа. Фактическое значение , оценка

На рисунке 12 показана аналогичная кривая для – значения, часто наблюдаемого в природных процессах. Эти данные были получены аппроксимацией обобщенного броуновского движения. Такой ряд получен, с учетом памяти о 200 наблюдениях. Данные имитируют естественный цикл из 200 наблюдений.

Рисунок 12. R/S-анализ: фрактальное броуновское движение. Фактическое значение , оценка .

Когда превышается (), тогда R/S-наблюдения становятся сбивчивыми и случайными. Это свойство R/S-анализа позволяет определить среднюю длину цикла системы. В терминах нелинейной динамики систем средняя длина цикла есть длительность, по истечении которой теряется память о начальных условиях.

На рисунке 13 показана аналогичная кривая, построенная для . Действительная в этом случае оказалась немного ниже, но в допустимых пределах.

Рисунок 13. R/S-анализ: фрактальное броуновское движение. Фактическое значение , оценка

Благодаря своей замечательной устойчивости, показатель Херста широко применяется в анализе временных рядов сложных систем. Он содержит минимум предположений об изучаемой системе и позволяет ввести классификацию временных рядов безотносительно к их виду распределения.

 Скачать реферат