Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики

Можно выделить два основных этапа в развитии нелинейной динамики: [38, 39]:

1) Этап диссипативных структур (1950-1980-е гг.). Понятие «диссипативные структуры» было введено И. Пригожиным [40], основателем современной теории сложности, нобелевским лауреатом, и относится, прежде всего, к диссипативным процессам (то есть к процессам вязкости, диффузии, теплопроводности). Такие процессы позволя

ли исследуемым системам «забыть» начальные данные и сформировать с течением времени подобные стационарные структуры. Задача анализа сводилась к определению изменения и конфигурации структур при вариации внешних параметров и начальных данных.

Соответствующий математический аппарат нелинейной динамики на этом этапе определялся качественной теорией ветвлений решений дифференциальных уравнений. Эти разделы математики интенсивно разрабатывались со времен А. Пуанкаре (конца XIX века), успешно применялись в теории колебаний, что не в последнюю очередь обеспечило первые успехи синергетики.

Математическими образами эпохи стали притягивающие множества (аттракторы) в фазовом пространстве, при этом простейшим аттракторам - неподвижным точкам - соответствовали стационарные, не меняющиеся со временем структуры, а с 70-х годов XX века - более сложные структуры - аттракторы, предельные циклы - различные периодические волновые процессы.

2) Этап динамического хаоса (с начала 1980-х гг. и по настоящее время) [41, 42]. Термин «детерминированный или динамический хаос», под которым понимается непредсказуемое поведение детерминированных систем, был введен в научный обиход в 1975 г. Т.-У. Ли и Дж. Йорком. Термин «динамический» (детерминированный) означает, что отсутствуют источники случайных флуктуации. Важным понятием данного этапа стала чувствительность к начальным условиям: экспоненциальное разбегание двух близких траекторий для класса хаотических аттракторов. При этом скорость разбегания можно определить путем вычисления положительной величины наибольшего показателя Ляпунова. Вследствие этой чувствительности становится невозможным сравнить траекторию объекта и модели для одних и тех же моментов времени, так как даже малая ошибка в начальных данных будет экспоненциально нарастать, что приведет, в конечном счете, к совершенно разным траекториям. Поэтому приходится ограничиваться либо кратковременными прогнозами, либо искать адекватные способы сравнения поведения модели и объекта (например, возможно использование некоторых функционалов от траектории, определяющих количественные характеристики хаоса). К основным типам задач, которые решались на этом этапе, можно отнести задачи анализа временных рядов (в частности, нахождение горизонта прогноза), построения прогнозирующих систем, определения законов движения объекта по ограниченному ряду наблюдений.

Можно отметить, что необходимость большой выборки очень точных измерений предшествующих состояний объекта для алгоритмов нахождения количественных характеристик хаоса и построения прогнозирующих систем делает эти алгоритмы достаточно «капризными». Как указывается в [39] «… в то же время живые существа такими данными для обучения не располагают, поэтому неясно, как им удается эффективно ориентироваться в быстро меняющейся обстановке… возник новый класс задач, весьма сложный для разработчиков программ и легко решаемый биологическими субъектами».

Символами этой эпохи [43] стали субгарманический каскад, множества Кантора, аттрактор Хенона, система Лоренца. Заметим, что именно Э. Лоренц в 1963 г. явился одним из основоположников теории хаоса.

Можно выделить следующие причины, вызвавшие повышенный интерес на сегодняшний день к теории хаоса:

· исследование хаоса обеспечивает новые концептуальные и теоретические средства, позволяющие понять сложное поведение систем, которое не удавалось объяснить другими теориями;

· хаотическое поведение универсально и проявляется в самых разных областях, таких, например, как в механических осцилляторах, электрических цепях, химических реакциях, нервных клетках, нагреваемых жидкостях, экономических системах, в том числе, как будет показано далее, и на финансовых рынках.

Теория хаоса [44] является основным подходом к анализу так называемых маломасштабных разрывов (резких скачков), крупномасштабными разрывами занимается теория катастроф [45, 46]. Этот тип разрывов был введен Р. Томом в 1972 г. и Е. Зиманом в 1977 г. Крупномасштабные разрывы (катастрофы) происходят в определенном состоянии переменных при изменении других, управляемых переменных, которые достигают критических бифуркационных значений. В применении к экономике теорию катастроф впервые продемонстрировал Е. Зиман в задаче о крахе спекулятивных «пузырей» на финансовом рынке. Теория катастроф предложила анализ обшей структуры крупномасштабных разрывов, но подверглась критике за отсутствие моделей, позволяющих предсказать их наступление.

Оба подхода к динамике разрывов и теорию катастроф, и теорию хаоса можно рассматривать как частные случаи более широкой категории - теории бифуркаций, поскольку внезапные изменения, разные по масштабу, возникают в бифуркационных точках, где и происходят скачки на плавных хаотических траекториях. Возможным синтезом этих подходов является порядок. Такой прием предложен И. Пригожином в 1977 г. и разработчиком синергетики Г. Хакеном в 1983 г. [47]. По их мнению, оба типа разрывов являются одновременно и большими, и малыми. Последние будут возбуждать первые при колебаниях системы вблизи крупномасштабных точек бифуркации, где будут происходить катастрофы. Таким образом, хотя хаос может возникать из катастроф в смысле последовательности переходных бифуркаций, катастрофы более высоких порядков могут, в свою очередь, возникать из хаоса.

При анализе хаотических явлений необходимы некоторые меры (критерии), позволяющие получить количественную оценку хаоса, сравнить теоретические и экспериментальные наблюдения, выявить отличие хаотического ряда от случайного. В задаче формирования таких критериев используются два подхода.

В первом подходе акцент делается на динамике хаотической характеристики. В рамках этого подхода применяются такие критерии, как показатель Ляпунова (мера скорости расхождения траекторий, начинающихся на соседних точках), энтропия Колмогорова (параметр, который отображает количество информации на аттракторе). Сюда же можно отнести спектральный анализ, а именно спектральную плотность мощности и автокорреляционную функцию.

Второй подход отражает геометрическую природу траекторий в пространстве состояний. Данный подход предполагает использование критериев, определяемых через фрактальную и корреляционную размерности.

4.2 Рождение и развитие фрактальной геометрии

Понятия «фрактал» и «фрактальная геометрия» возникли в 70–80-х годах прошлого века. Они прочно вошли в обиход математиков и программистов. Слово «фрактал» происходит от латинского fractus, что в переводе означает дробный, состоящий из фрагментов. Оно было предложено американским математиком Бенуа Мандельбротом в 1975 году для обозначения нерегулярных («изломанных») самоподобных структур, которыми он занимался.

 Скачать реферат