Анализ состояния финансовых рынков на основе методов нелинейной динамики

По определению, данному Мандельбротом, «фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому» [48]. Фрактал - это бесконечно самоподобная геометрическая фигура, каждый фрагмент которой повторяется при уменьшении масштаба (см. рис. 6). Масштабная инвариантость, наблюдаемая во фракталах, может быть либо точной, либо приближённой.

0 height=222 src="images/referats/14110/image015.jpg" alt=Форекс>

Рисунок 6. Самоподобие фракталов на примере множества Мандельброта

С математической точки зрения фрактал – это, прежде всего, множество дробной размерности [49].

Рождение фрактальной геометрии принято связывать с выходом в 1977 году книги Мандельброта «Фрактальная геометрия природы», в которой автор собрал и систематизировал научные результаты ученых, работавших в период 1875–1925 гг. в той же области (Пуанкаре, Фату, Жюлиа, Кантор, Хаусдорф).

Фрактальная геометрия — это революция в математике и математическом описании природы. Вот как об этом пишет сам первооткрыватель фрактальной геометрии Б.Мандельброт: «Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака — это не сферы, горы — это не конусы, линии берега — это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности» [50].

Мандельброт показал, что геометрия реального мира не евклидова, а фрактальная. «Правильные» евклидовы объекты являются математической абстракцией, природа же предпочитает негладкие, шероховатые, зазубренные формы. К евклидовой геометрии добавилась новая геометрия, отличие которой состоит в том, что она не оперирует гладкими объектами и привычными формами типа треугольника, квадрата, круга, шара и т.п. Фракталы с большой точностью описывают многие физические явления и природные образования. Снежинку, морского конька, ветви деревьев, разряд молнии и горные массивы можно нарисовать, используя фракталы. Поэтому многие современные ученые говорят о том, что природа имеет свойство фрактальности.

4.3 Фрактальная размерность

Главная особенность фрактальных объектов состоит в том, что для их описания недостаточно «стандартной» топологической размерности (для пространства , для поверхности - , для линии - , для точки ), которая, как известно, всегда является целым числом. Под размерностью понимали минимальное число параметров, необходимых для описания положения точки в пространстве. Несостоятельность такого наивного восприятия стала очевидной после открытия взаимно однозначного соответствия между точками отрезка и квадрата и непрерывного отображения отрезка на квадрат (см. рис. 7). Первое из них было построено Кантором (1877 г.), второе — Пеано (1890 г.).

Рисунок 7. Построение линии Пеано

Фракталам свойственна геометрическая «изрезанность». Поэтому используется специальное понятие фрактальной размерности, введенное Ф. Хаусдорфом и А.С. Безиковичем. Применительно к идеальным объектам классической евклидовой геометрии она давала те же численные значения, что и топологическая размерность, однако новая размерность обладала более тонкой чувствительностью ко всякого рода несовершенствам реальных объектов, позволяя различать и индивидуализировать то, что прежде было безлико и неразличимо. Этот тонкий инструмент позволяет сделать заключение, к какому обычному геометрическому объекту — точке, линии или плоскости – ближе конкретное экзотическое фрактальное множество.

Мандельброт дал строгое математическое определение фрактала, как множества, хаусдорфова размерность которого, строго больше его топологической размерности. В то время как гладкая евклидова линия заполняет в точности одномерное пространство, фрактальная кривая вторгается в двумерное пространство, потому как ее размерность находится между 1 и 2. Фракталы - бесконечно-изломанные, «махровые» линии. Они напоминают гармошку, каждый кусочек которой, даже очень маленький, если попытаться его распрямить, оказывается бесконечно длинным.

Обсудим фрактальную размерность на примере регулярных фракталов (математическая абстракция). Рассмотрим сначала отрезок единичной длины, который разбит на равных кусков длиной , так что . По мере уменьшения значение растёт линейно, что и следовало ожидать для одномерной кривой. Аналогично, если мы разделим квадрат единичной площади на равных квадратиков со стороной , то получим - ожидаемый для двумерного объекта результат. Можно утверждать, что в общем случае , где - размерность объекта (см. рис. 8).

Рисунок 8. Покрытие объекта n-мерными кубиками

Следовательно, логарифмируя обе части этого равенства и перейдя к пределу при стремящемся к нулю, можно выразить размерность в виде:

(1)

Это равенство является определением хаусдорфовой или фрактальной размерности, которая обычно принимает дробные значения.

Приведем пример множества, состоящего из отдельных точек, но имеющих их столько, сколько и любой отрезок действительной оси. Возьмем отрезок длины 1. Разделив его на три равные части, исключим среднюю часть. С оставшимися двумя отрезками проделаем ту же процедуру и в результате получим 4 отрезка в 1/9 длины каждый и т.д. до бесконечности — рис. 9.

Рисунок 9. Построение множества Кантора

Множество точек, возникшее после этой процедуры, и является множеством Кантора. Нетрудно заметить, что длина этого множества равна нулю. Действительно,

 Скачать реферат