Творческая тетрадь как средство обеспечения выполнения творческих работ по математике для учащихся 6 классов

Данное разложение называется формулой бинома Ньютона.

Формулу называют формулой бинома Ньютона, но это название с точки зрения истории неверно. Формулу для хорошо знали среднеазиатские математики Омар Хайям, Гиясэддин и др. Заслуга же Ньютона в том, что ему удало

сь обобщить формулу на случай нецелых показателей.

Таким образом, мы вывели разложение формулы бинома Ньютона, которая является обобщением формул и ; два способа нахождения биномиальных коэффициентов: через треугольник Паскаля и формулу числа сочетаний .

Бином Ньютона можно обобщить по количеству слагаемых, т.е. найти разложение для , однако вывод данной формул является довольно сложным для школьника. Поэтому рассмотрим частный случай формулы, формулу для суммы трех переменных, т.е. для тринома. Выведем разложение для тринома , а также арифметическую таблицу триномиальных коэффициентов.

Рассмотрим ряд формул, являющихся частными случаями для , которые можно получить раскрыв скобки и приведя подобные слагаемые:

рис. 2.5

Построим арифметическую таблицу из триномиальных коэффициентов, данная таблица будет представлять собой пирамиду, которую называют пирамидой Паскаля (рис. 2.5). Видим, что по трем внешним ребрам пирамиды стоят единицы. Каждая из трех боковых граней представляет собой треугольник Паскаля. В n-ом сечении (треугольнике) пирамиды (n ≥ 0), параллельном основанию, располагаются триномиальные коэффициенты (которые обозначаются ) подобно биномиальным коэффициентам в треугольнике Паскаля.

Рассмотрим сечения пирамиды для , и (рис. 2.6):

рис. 2.6

Видим, что коэффициенты, лежащие внутри сечения пирамиды в углу, равны сумме двух коэффициентов располагающихся на внешней стороне сечения, которые лежат на одной прямой с этим коэффициентом. Правило для нахождения триномиальных коэффициентов, стоящих внутри сечения пирамиды, вызвало большие трудности, поэтому правило вывода триномиальных коэффициентов было взято из литературы.

Известно, что любой внутренний элемент пирамиды Паскаля, стоящий в n -ом сечении, равен сумме трех элементов, расположенных в углах элементарного треугольника - го сечения пирамиды. Построение n-го сечения связывают с равенством :

;

Сечение получается из треугольника Паскаля, основанием которого служит -я строка треугольника, умножением элементов его строк почленно на элементы основания, повернутого против часовой стрелки на угол . Рис. 2.7, а иллюстрирует построение сечения при n=4. Расположение элементов сечения показано на рис. 2.7, б.

рис. 2.7

Получим разложение тринома . Для этого воспользуемся полученными формулами: формулой бинома Ньютона и формулой биномиальных коэффициентов.

В полученной формуле часть:

выражает основание треугольника Паскаля, т.е. триномиальные коэффициенты, которые лежат на внешней стороне -го сечения пирамиды. А часть полученной формулы: выражает триномиальные коэффициенты, лежащие внутри -го сечения пирамиды.

В литературе разложение тринома представляют в виде:

,

где - триномиальные коэффициенты, , , – неотрицательные целые числа, которые выражаются формулой:

Для триномиальных коэффициентов справедлива рекуррентная формула:

с начальными условиями ; .

Триномиальные коэффициенты удовлетворяют условиям:

и равенствам

,

указывающих на наличие трех осей симметрии.

Итак, наше исследование показало, что можно обобщить формулы квадрата суммы и куба суммы по степени, получив разложение формулы бинома Ньютона. Биномиальные коэффициенты можно найти либо при помощи треугольника Паскаля, записав коэффициенты разложения в виде треугольной таблицы и выведя очевидное правило, либо посредством формул числа сочетаний , которые возможно вывести. Также оказался возможным построение пирамиды Паскаля и вывод разложения для тринома. При этом нужно отметить, что если для вывода разложения бинома литература является средством подтверждения полученных результатов, то для разложения тринома литература является дополняющим средством к полученным результатам. Полученные результаты исследования были сопоставлены и дополнены материалом книг по этим вопросам.