Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

Из всех корней этих уравнений промежутку принадлежит единственное значение .

Поэтому соответствующее значение x равно

.

Ответ. .

Пример 19. Решить уравнение .

Решение. В этом уравнении x по ОДЗ может принимать только значения из отрезка , что приводит к мысли совершить замену

, где .

В результате такой замены приходим к уравнению

.

Учтем, что и , получим уравнение .

В силу ограничения выполнено , поэтому приходим к уравнению , которое, пользуясь формулой приведения, сведем к стандартному виду

.

Решая последнее уравнение, находим

или , .

Условию удовлетворяют лишь три значения

, , . Поэтому

, , .

Ответ. , , .

4. Умножение обеих частей уравнения на функцию.

Иногда иррациональное уравнение удается решить довольно быстро, если обе его части умножить на удачно подобранную функцию. Конечно, при умножении обеих частей уравнения на некоторую функцию могут появиться посторонние решения, ими могут оказаться нули самой этой функции. Поэтому предлагаемый метод требует обязательного исследования получающихся значений.

Пример 20. Решить уравнение .

Решение. Умножим обе части уравнения на одну и ту же функцию . Выражение называется сопряженным для выражения . Цель такого умножения ясна: использовать тот факт, что произведение двух сопряженных выражений уже не содержит радикалов.

В результате этого умножения и очевидных преобразований приходим к уравнению

.

Оно имеет единственный корень , так как уравнение решений не имеет.

Подстановка в исходное уравнение показывает, что - корень.

Ответ. .

Впрочем, здесь можно было обойтись и без подстановки: функция нигде в нуль не обращается, и поэтому умножение обеих частей уравнения на эту функцию не приводит к появлению посторонних решений.

Пример 21. Решить уравнение . [9]

Решение. Умножим обе части уравнения на функцию . После преобразований получим уравнение

.

Оно имеет два корня: . Проверка показывает, что - посторонний корень (нетрудно видеть, - корень функции ). Таким образом, уравнение имеет единственный корень .

Ответ. .

Методика решения иррациональных неравенств

Если в любом иррациональном уравнении заменить знак равенства на один из знаков неравенства: >, , <, , то получим иррациональное неравенство. [19] Поэтому под иррациональным неравенством будем понимать неравенство, в котором неизвестные величины находятся под знаком корня.

Способ решения таких неравенств состоит в преобразовании их к рациональным неравенствам путем возведения обеих частей неравенства в степень.

Решение иррациональных неравенств осложняется тем обстоятельством, что здесь, как правило, исключена возможность проверки, поэтому надо стараться делать все преобразования равносильными.

При решении иррациональных неравенств следует запомнить правило: при возведении обеих частей неравенства в нечетную степень всегда получается неравенство, равносильное данному неравенству. [16]

Но если при решении уравнений в результате возведения четную степень мы могли получить посторонние корни (которые, как правило легко проверить) и не могли потерять корни, то корни неравенства при бездумном возведении в четную степень могут одновременно и теряться, и приобретаться.

Например, возведя в квадрат:

верное неравенство , мы получим верное неравенство ;

верное неравенство , мы получим неверное неравенство ;