Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

"Сборник задач по алгебре, 8-9", авт. М.Л. Галицкий, А.М. Гольдман, Л.И. Звавич

Данная книга представляет собой сборник задач по курсу алгебры, предназначенный для учащихся 8-9 классов с углубленным изучением математики.

В начале параграфа "Степень с рациональным показателем" помещен справочный материал теоретического характера, посвященный иррациональным уравнениям

и неравенствам. Описаны такие пути решения иррациональных уравнений, как:

возведение обеих частей уравнения в натуральную степень с последующей проверкой найденных корней;

переход к равносильным системам, в которых учитывается область определения уравнения и требование неотрицательности обеих частей уравнения, возводимых в четную степень.

При решении иррациональных неравенств либо используется метод интервалов, либо с помощью равносильных преобразований заменяется данное иррациональное неравенство системой (или совокупностью систем) рациональных неравенств.

В параграфе рассмотрено три способа решения иррационального уравнения вида :

переход к равносильной системе;

введение новой переменной;

использование свойства монотонности функций.

Среди упражнений, помещенных в данном параграфе, есть упражнения для закрепления умений и навыков решать иррациональные уравнения и неравенства. В №№115-117 необходимо доказать, что уравнение не имеет решения, в №№118-119 - ответить на вопрос: равносильны ли уравнения. №№120-144 предлагаются для решения иррациональных уравнений, №№145-155 - для решения неравенств описанными выше способами.

"Алгебра и математический анализ, 11", авт.Н.Я. Виленкин, О.С. Ивашев-Мусатов, С.И. Шварцбурд .

Данное учебное пособие представляет собой продолжение книги "Алгебра и начала анализа" для 10 класса и предназначено как для общеобразовательной школы, так и классов и школ с углубленным изучением курса математики.

Иррациональные уравнения и неравенства изучаются в параграфе "Степенная функция. Иррациональные выражения, уравнения и неравенства" VIII главы "Показательная, логарифмическая и степенные функции".

Пункт "Иррациональные уравнения" начинается с определения иррационального уравнения и примеров таких уравнений. Далее сформулирована и доказана теорема о равносильных уравнениях, на которой основано решение иррациональных уравнений. Из теоремы следует, что если в ходе решения иррационального уравнения приходилось возводить обе его части в степень с четным показателем, то могут появиться посторонние корни. Поэтому, чтобы не было необходимости подставлять найденные корни в данное уравнение, сформулировано еще два утверждения о равносильном переходе от уравнений вида и к системам, состоящим из уравнения и неравенства. Далее на примерах решения иррациональных уравнений демонстрируются данные равносильные переходы. Также автор рекомендует перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень "уединить радикал", то есть представить уравнение в виде . Далее данный метод применяется для решения иррациональных уравнений

После данного пункта помещены упражнения для закрепления умений решать иррациональные уравнения описанными выше методами - №216. В №215 необходимо доказать, что данные иррациональные уравнения не имеют решений.

В следующем пункте "Иррациональные неравенства" сформулированы приемы решения иррациональных неравенств вида и с помощью равносильного перехода к системе неравенств в первом случае и совокупности систем неравенств - во втором. Рассматривается решение иррационального неравенства вида с помощью равносильного перехода к неравенству . Решение каждого из видов неравенств демонстрируется на примерах.

После данного пункта помещены упражнения для закрепления умения решать иррациональные неравенства с помощью равносильных переходов, описанных выше - №217.

Все утверждения, сформулированные в данном учебном пособии, изложены со строгим обоснованием. Описан полезный метод при решении иррациональных уравнений - метод "уединения радикала". Не смотря на то, что учебник не отличается обилием упражнений, предлагаемые задания разнообразны, различной степени сложности

Проведенный анализ позволяет сделать следующие выводы:

В учебнике материала по методам решения иррациональных уравнений нет. В учебниках [13] и [4] материал по теории методов решения скудный, но довольно строгий. В большом объеме теория по общим методам решения рассмотрена учебниках .

В каждом учебнике рассмотрены два основных способа решения: возведение обеих частей уравнения в степень, с последующей подстановкой полученных корней в исходное уравнение, а также решение уравнений с помощью равносильных переходов к системе, состоящей из уравнения и неравенства. В учебниках рассмотрены такие общие методы решения уравнений как метод разложения на множители, метод введения новых переменных, функционально-графический метод

, рассмотрена подробно, изложение теории строгое. Только в учебнике Виленкина рассматривается решение иррационального неравенства вида .

Наиболее большой объем упражнений для решения иррациональных

Основные понятия, относящиеся к уравнениям

Равенство вида

, (1)

где и - некоторые функции, называют уравнением с одним неизвестным x (с одной переменной x). Это равенство может оказаться верным при одних значениях x и неверным при других значениях x.

Число a называется корнем (или решением) уравнения (1), если обе части уравнения (1) определены при и равенство является верным. Следовательно, каждый корень уравнения (1) принадлежит множеству, которое является пересечением (общей частью) областей определения функций и и называется областью допустимых значений (ОДЗ) уравнения (1).

Решить уравнение - значит найти все его корни или доказать, что корней нет.