Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
вычеркнуть в левой и правой его частях слагаемое , то получится уравнение
,
являющееся следствием исходного: второе уравнение имеет корни , , а первое - единственный корень .
Отметим еще, что если ОДЗ уравнения (4) содержится в области определения функции , то уравнения (3) и (4) равносильны.
Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же функцию, то есть переход от уравнения (4) к уравнению
.
Справедливы следующие утверждения:
если ОДЗ уравнения (4), то есть пересечение областей определения функций и , содержится в области определения функции , то уравнение (5) является следствием уравнения (4);
если функция определена и отлична от нуля в ОДЗ уравнения (4), то уравнения (4) и (5) равносильны.
Заметим, что в общем случае переход от уравнения (5) к уравнению (4) недопустим: это может привести к потере корней.
При решении уравнений вида (5) обычно заменяют его равносильным уравнением
,
затем находят все корни уравнений
и
и, наконец, проверяют, какие из этих корней удовлетворяют уравнению.
Возведение обеих частей уравнения в натуральную степень, то есть переход от уравнения
(6)
к уравнению
. (7)
Справедливы следующие утверждения:
при любом уравнение (7) является следствием уравнения (6);
если (n - нечетное число), то уравнения (6) и (7) равносильны;
если (n - четное число), то уравнение (7) равносильно уравнению
, (8)
а уравнение (8) равносильно совокупности уравнений
. (9)
В частности, уравнение
(10)
равносильно совокупности уравнений (9).
Следовательно, исходя из утверждений 1 и 2, возведение обеих частей уравнения в нечетную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня нечетной степени является равносильным преобразованием.
Исходя из утверждения 1 и 3, возведение обеих частей уравнения в четную степень и извлечение из обеих частей уравнения корня четной степени является неравносильным преобразованием, при этом получается уравнение, являющееся следствием исходного.
Применение формулы при является равносильным преобразованием, при - неравносильным.
Преобразования уравнений, рассмотренные в пунктах 3, 4 и 5 будут продемонстрированы на примерах ниже.
Методика решения иррациональных уравнений
В работе будем придерживаться следующего определения иррационального уравнения:
Иррациональным уравнением называется уравнение, содержащее неизвестное под знаком корня.
Прежде чем приступить к решению сложных уравнений учащиеся должны научиться решать простейшие иррациональные уравнения. К простейшим иррациональным уравнениям относятся уравнения вида:
Основная идея решения иррационального уравнения состоит в сведении его к рациональному алгебраическому уравнению, которое либо равносильно исходному иррациональному уравнению, либо является его следствием.
Главный способ избавиться от корня и получить рациональное уравнение - возведение обеих частей уравнения в одну и ту же степень, которую имеет корень, содержащий неизвестное, и последующее "освобождение" от радикалов по формуле .
Если обе части иррационального уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень и освободиться от радикалов, то получится уравнение, равносильное исходному.
При возведении уравнения в четную степень получается уравнение, являющееся следствием исходного. Поэтому возможно появление посторонних решений уравнения, но не возможна потеря корней. Причина приобретения корней состоит в том, что при возведении в четную степень чисел, равных по абсолютной величине, но разных по знаку, получается один и тот же результат.
Так как могут появиться посторонние корни, то необходимо делать проверку, подставляя найденные значения неизвестной только в первоначальное уравнение, а не в какие-то промежуточные.
Рассмотрим применение данного метода решения иррациональных уравнений.
Пример 1. Решите уравнение .
Решение. Возведем обе части этого уравнения в квадрат и получим , откуда следует, что или .
Проверка. : . Это неверное числовое равенство, значит, число не является корнем данного уравнения.
: . Это верное числовое равенство, значит, число является корнем данного уравнения.
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения