Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики

§1 "Уравнения с одним неизвестным" состоит из трех пунктов: "Общие приемы", "Примеры решения уравнений" и "Приближенные методы вычисления корней". В первом пункте перечислены стандартные уравнения, которые были изучены ранее. Основным шагом в решении уравнения является преобразование уравнения к одному из стандартных. Приведены некоторые наиболее употреби

тельные приемы, общие для всех типов уравнений:

Разложение на множители.

Введение нового неизвестного.

Графический метод.

Во втором пункте на ряду со стандартными уравнениями рассматривается решения одного простейшего иррационального уравнения с помощью равносильного перехода к системе.

В третьем пункте кратко рассказывается о таких методах приближенного вычисления корней как метод половинного деления, метод хорд и касательных.

§ 2 "Неравенства с одним неизвестным" состоит из двух пунктов: "Общие приемы" и "Примеры решения неравенств". В первом пункте демонстрируется два приема решения неравенств: разложение на множители и метод замены неизвестного.

Во втором пункте на примерах показана техника решения неравенств с помощью переходов, сохраняющих равносильность. На ряду со стандартными неравенствами рассматривается решение одного простейшего иррационального неравенства.

Глава заканчивается заданиями. К заголовку "Иррациональные уравнения" относится №17, к заголовку "Иррациональные неравенства" - №21, в котором есть задание со звездочкой, то есть относящееся к разделу "трудные задачи".

Иррациональным уравнениям и неравенствам в главе уделено мало внимания: решение одного простейшего иррационального уравнения и одного неравенства.

Цель данной главы - обобщить имеющиеся у учащихся знаний об уравнениях, неравенствах и системах уравнений, поэтому здесь подробно не рассматриваются конкретные виды уравнений, а лишь повторяются сведения об изученных видах уравнений и методах их решения.

"Алгебра и начала анализа, 10-11", авт.А.Г. Мордкович.

Данное учебное пособие состоит из двух частей: учебника и задачника.

В первой части данного учебного пособия материал, касающийся иррациональных уравнений и неравенств, изучается в последней VIII главе "Уравнения и неравенства. Системы уравнений и неравенств", завершающей изучение школьного курса алгебры и начал математического анализа. Здесь уравнения и неравенства рассматриваются с самых общих позиций. Это, с одной стороны, своеобразное подведение итогов и, с другой стороны, некоторое расширение и углубление знаний.

В первых трех параграфах этой главы подведены итоги изучения в школе уравнений, неравенств. Использованы следующие термины:

равносильность уравнений, равносильность неравенств;

следствие уравнения, следствие неравенства;

равносильное преобразование уравнения, неравенства;

посторонние корни (для уравнений);

проверка корней (для уравнений).

Сформулированы теоремы:

о равносильности уравнений;

о равносильности неравенств.

Даны ответы на четыре главных вопроса, связанных с решением уравнений:

как узнать, является ли переход от одного уравнения к другому равносильным преобразованием;

какие преобразования переводят данное уравнение в уравнение-следствие;

как сделать проверку, если она сопряжена со значительными трудностями в вычислениях;

в каких случаях при переходе от одного уравнения к другому может произойти потеря корней и как этого не допустить?

Перечислены возможные причины расширения области определения уравнения, одна из которых - освобождение в процессе решения уравнения от знаков корней четной степени; указаны причины, по которым может произойти потеря корней при решении уравнений.

Выделены четыре общих метода решения уравнений:

замена уравнения h (f (x)) =h (g (x)) уравнением f (x) =g (x);

метод разложения на множители;

метод введения новых переменных;

функционально-графический метод.

Что касается иррациональных уравнений, то им в данном учебном пособии уделено достаточно большое внимание.

На примере иррационального уравнения показано как в три этапа осуществляется решение любого уравнения:

Первый этап - технический;

Второй этап - анализ решения;

Третий этап - проверка.

Также на примере иррационального уравнения показано, как сделать проверку, если проверка корней с помощью их подстановки в исходное уравнение сопряжена со значительными вычислительными трудностями.

Метод замены уравнения h (f (x)) =h (g (x)) уравнением f (x) =g (x) применятся при решении иррациональных уравнений для перехода от уравнения к уравнению .

Метод введения новой переменной также разобран и на примере решения иррационального уравнения.

Отдельный пункт посвящен иррациональным неравенствам. Здесь с теоретическим обоснованием рассматривается решение неравенств вида , . В первом случае иррациональное неравенство заменяется равносильной системой неравенств во втором - равносильной совокупностью систем неравенств

Система задач изложена в той же последовательности, что и соответствующий материал в I части. В § 55 "Равносильность уравнений" изложены различные типы заданий на равносильность и следствие уравнений, в том числе и иррациональных. В § 56 "Общие методы решения уравнений" помещены задания для использования четырех методов, изложенных в I части данного учебного пособия, для решения уравнений. Все задачи в соответствии с ними разбиты на четыре блока, в каждом из которых встречаются иррациональные уравнения. В § 57 "Решение неравенств с одной переменной" изложены различные типы заданий на равносильность и следствие неравенств, в том числе и иррациональных.

В № 1673 нужно решить простейшие иррациональные уравнения. №№1674, 1675, 1712-1719 - упражнения выше среднего уровня для решения иррациональных уравнений, №№1790, 1791 - неравенств. № 1792 - упражнение повышенной трудности для решения иррациональных неравенств.

Много заданий, в которых требуется решить "смешанное" уравнение или неравенство, то есть логарифмическое, показательное или тригонометрическое уравнение или неравенство, в которое входят и иррациональные выражения. Среди этих заданий есть задания как базового, так и повышенного уровня.

В I части учебника много внимание уделено равносильности уравнений и неравенств, достаточно строго рассмотрены общие методы решения уравнений, с оговоркой о потере корней и приобретении посторонних. II часть учебника отличается обилием и разнообразием задач. Достаточно много задач на равносильность и следствие уравнений и неравенств.