Методика решения иррациональных уравнений и неравенств в школьном курсе математики
Ответ. .
Проверка, осуществляемая подстановкой найденного решения в исходное уравнение, может быть легко реализована, если проверяемые корни - "хорошие" числа, а для "громоздких" корней проверка может быть сопряжена со значительными вычислительными трудностями. Поэтому каждый образованный школьник должен ум
еть решать иррациональные уравнения с помощью равносильных преобразований, так как, выполняя равносильные преобразования, можно не опасаться ни потери корней, ни приобретения посторонних решений. [17] Аккуратное возведение в четную степень уравнения вида состоит в переходе к равносильной ему системе
Неравенство в этой системе выражает условие, при котором уравнение можно возводить в четную степень, отсекает посторонние решения и позволяет обходиться без проверки.
Школьники довольно часто добавляют к этой системе неравенство . Однако этого делать не нужно и даже опасно, поскольку условие автоматически выполняется для корней уравнения , в правой части которого стоит неотрицательное выражение.
Пример 2. Решить уравнение .
Решение. Это уравнение равносильно системе
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и .
Второй корень не удовлетворяет неравенству системы и, следовательно, является посторонним корнем исходного уравнения.
Ответ. .
При решении иррациональных уравнений полезно перед возведением обеих частей уравнения в некоторую степень "уединить радикал", то есть представить уравнение в виде .
Тогда после возведения обеих частей уравнения в n-ую степень радикал справа исчезнет.
Пример 3. Решить уравнение
Решение. Метод уединения радикала приводит к уравнению . Это уравнение равносильно системе
Решая первое уравнение этой системы, получим корни и , но условие выполняется только для .
Ответ. .
Полезно запомнить схему решения еще одного вида иррациональных уравнений . Такое уравнение равносильно каждой из двух систем
Поскольку после возведения в четную степень получаем уравнение-следствие . Мы должны, решив его, выяснить, принадлежат ли найденные корни области определения исходного уравнения, то есть выполняется ли неравенство (или ). На практике из этих систем выбирают для решения ту, в которой неравенство проще.
Пример 4. Решить уравнение
.
Решение. Это уравнение равносильно системе
Решая первое уравнение этой системы, равносильное уравнению , получим корни и .
Однако при этих значениях x не выполняется неравенство , и потому данное уравнение не имеет корней.
Ответ. Корней нет.
Теперь можно перейти к решению иррациональных уравнений, не относящихся к простейшим.
Пример 5. Решить уравнение .
Решение. Возведем обе части уравнения в квадрат и произведем приведение подобных членов, перенос слагаемых из одной части равенства в другую и умножение обеих частей на .
В результате получим уравнение
, (1)
являющееся следствием исходного.
Снова возведем обе части уравнения в квадрат. Получим уравнение
,
которое приводится к виду
.
Это уравнение (также являющееся следствием исходного) имеет корни , . Оба корня, как показывает проверка, удовлетворяют исходному уравнению.
Ответ. , .
Тождественные преобразования при решении иррациональных уравнений
При решении иррациональных уравнений и неравенств часто приходится применять тождественные преобразования, связанные с использованием известных формул. К сожалению, эти действия иногда столь же небезопасны, как уже рассмотренное возведение в четную степень, - могут приобретаться или теряться решения.
Обсудим несколько ситуаций, в которых эти проблемы наступают, и посмотрим, как их распознать и как можно с ними бороться.
I. Пример 6. Решить уравнение .
Решение. При первом же взгляде на это уравнение возникает мысль избавиться от корня с помощью "преобразования" .
Но это неверно, так как при отрицательных значениях x оказывалось бы, что .
Другие рефераты на тему «Педагогика»:
- Основные факторы развития ребенка в социуме
- Методика реализации межпредметных и внутрипредметных связей при обучении математике
- Изучение элементов теории множеств в начальном курсе обучения математике
- Особенности организации культурно-досуговой деятельности подростков в условиях сельской местности
- Методика конструирования факультативного курса для вуза
Поиск рефератов
Последние рефераты раздела
- Тенденции развития системы высшего образования в Украине и за рубежом: основные направления
- Влияние здоровьесберегающего подхода в организации воспитательной работы на формирование валеологической грамотности младших школьников
- Характеристика компетенций бакалавров – психологов образования
- Коррекционная программа по снижению тревожности у детей младшего школьного возраста методом глинотерапии
- Формирование лексики у дошкольников с общим недоразвитием речи
- Роль наглядности в преподавании изобразительного искусства
- Активные методы теоретического обучения