Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей

Модель пирамиды с сечением, параллельным ее основанию, прекрасное пособие для изучения пропорциональных отрезков и подобных треугольников.

Точно так же тригонометрические функции острого угла можно рассматривать не только для прямоугольных треугольников, начерченных на доске, но и являющихся гранями или сечениями трехмерных тел.

Очевидно, описанный здесь наглядно-интуитивный выход в про

странство при изучении курса планиметрии может сопровождаться также обобщением некоторых вводимых понятий. На это уйдет не очень много времени. Выше уже было рассказано о введении не только плоских, но и пространственных ломаных линий.

При изучении перпендикуляра к прямой находим взаимно перпендикулярные ребра на моделях куба и прямоугольного параллелепипеда. Рассматривая модель перпендикуляра к прямой, убеждаемся в единственности перпендикуляра к данной прямой, проходящего через данную на ней точку, если речь идет о плоскости и о бесчисленном множестве перпендикуляров к данной прямой, если речь идет о пространстве.

Изучение параллельных прямых лучше начать с анализа возможного расположения прямых в пространстве. Так вводятся параллельные и скрещивающиеся прямые; два вида прямых, не имеющих общих точек. Из наблюдений обнаруживается тот факт, что теорема две прямые, параллельные третьей прямой, параллельны друг к другу справедлива и для пространственного расположения прямых (оговариваемся, что доказано это будет в свое время).

При доказательстве теоремы: если две прямые АВ и CD перпендикулярны к одной и той же прямой МN, то они параллельны. На каркасной модели куба показываем, что это предложение верно только для прямых, лежащих в одной плоскости.

Далее вместе с понятием плоского четырехугольника вводится понятие пространственного четырехугольника. Доказывается теорема: сумма внутренних углов четырехугольника равна 1800. Эта теорема верна для плоских четырехугольников. А для пространственных? Наблюдение покажет, что нет. Неплоские четырехугольники можно наблюдать на каркасных моделях параллелепипеда, соединяя четыре вершины, не лежащие на одной плоскости. Или с помощью четырех палочек и пластилина демонстрируются подвижные пространственные четырехугольники, в которых, сохраняя значение двух углов, можно уменьшать два других угла, что опровергает возможность обобщении теоремы о сумме внутренних углов четырехугольника .

Итак, используя стереометрические модели и их разрезы для изучения элементов планиметрии, мы достигаем сразу нескольких целей, главными из которых являются:

обеспечение всестороннего, более глубокого понимания планиметрических зависимостей;

развитие пространственны представлений учащихся при изучении планиметрии;

применение знаний по планиметрии при решении пространственных задач, т. е., сближение обучения с возможными приложениями в жизни;

приложение измерительных и конструктивных навыков к естественнонаучным методам изучения особенностей пространственных фигур;

подготовка к изучению систематического курса стереометрии.

Можно привести еще целый ряд примеров весьма эффективного использования геометрических моделей постоянной формы.

Однако такие модели в настоящее время не могут полностью удовлетворять современным требованиям методики преподавания геометрии, когда идея движения и связанные с нею геометрические преобразования прочно входят в курс элементарной геометрии.

Возникает необходимость при изучении геометрии вводить подвижные наглядные пособия, окружающие идею движения в геометрии.

Использование динамических геометрических моделей

Подвижные геометрические модели

Подвижные геометрические модели в настоящее время широко используются в преподавании геометрии при открытии понятий, теорем и доказательств. Например, для демонстрации смежных, вертикальных углов, высот, медиан, биссектрис треугольника, параллелограмма, с помощью моделей удобно иллюстрировать движения на плоскости (поворот, параллельный перенос, осевую и центральную симметрию). Гораздо реже используются подвижные модели при изучении различных зависимостей между сторонами и углами треугольника, между величинами проекций и наклонных и т. п. Это изучение чаще всего ведется статично, т. е., рассматривается один частный случай, который характеризуется определенным чертежом. В сознании школьника вместо великого разнообразия случаев, которые описывает изучаемая зависимость, нередко запечатлевается ее «фотография» — застывший неподвижный чертеж. Создается своего рода противоречие между закономерностью общего характера и конкретным чертежом, который вынужден показывать один из частных случаев этой зависимости. Такое положение чревато многочисленными ошибками учеников.

Изображая вместо произвольной фигуры ее частный вид, ученик сам создает себе помехи в решении задач, ибо он невольно пользуется теми особенностями чертежа, которые не входят в условие задачи.

Например, изображая вместо произвольного прямоугольного треугольника равнобёдренный прямоугольный треугольник, ученик нередко использует при решении задачи навеянное чертежом дополнительное условие: острые углы треугольника равны 45°.

По-видимому, возникновению таких серьезных логических ошибок (неверное обобщение) содействует неправильная постановка преподавания геометрии. Иногда учителя, используя при доказательстве чертеж к теореме, не останавливаются на условиях, допускающих обобщение, и ученики невольно усваивают такое «правило»: по одному чертежу можно судить об общих закономерностях. Естественно поэтому, что при решении задач они стремятся брать наиболее «удобные» случаи. Конечно, говоря об условиях, позволяющих высказать общий вывод при рассмотрении одного чертежа, мы в известной мере нейтрализуем стремление учеников к «удобным» случаям. Но этого мало: необходимо также устранять причины, приводящие к ошибкам.

Как показал опыт, результаты в этом отношении обеспечивает изучение планиметрических зависимостей на подвижных моделях своего рода «подвижных чёртежах».

У многих учащихся отсутствует правильное представление о размерах углов. Говоря об угле в 30°, чертится угол в 50° и т. п. Недостаток глазомера, отсутствие навыка в обращении с ходовыми углами значительно осложняет работу по решению задач, а также тормозит дальнейшую практическую деятельность учащихся.

Для развития у учащихся правильных навыков рекомендуется во время изучения углов, построения их, вывесить в классе на небольшой срок (неделю) образцы часто встречающихся в практике углов: 30°, 45°, 60°, 135°. (см. рис. 4.)

Рис. 4. Образцы часто встречающихся углов

Модели могут быть двух типов: деревянные и картонные.

Ученику дома предлагается изготовить набор небольших моделей различных углов, наклеить их на листе, сделать надписи, поместить в конверт.

Интерес учащихся 7 класса вызывает планиметрическая модель, которая иллюстрирует доказательство теоремы о сумме внутренних углов треугольника.

Углы 1 и 3 треугольника подвижные. Для того чтобы учащиеся выдвинули гипотезу о сумме углов треугольника, учитель эти углы разворачивает на подвижной модели, так как показано на рис. 5