Методика обучения школьников планиметрии с использованием объектных моделей

Виды треугольников также хорошо иллюстрируются на пирамидах и треугольных призмах. Приложение понятий «равнобедренный треугольник», «равные стороны», «равные углы» к изучению особенностей правильных в неправильных пирамид позволяет моделировать своеобразный естественнонаучный метод исследования. Напомним, что ученикам неизвестны определения правильных и неправильных пирамид. Эти названия учител

ь сообщил им методом показа: «Вот эта группа тел - правильные пирамиды, а вот эта неправильные»

Уже в процессе измерения размеров пирамиды и определения формы их граней ученики находят общие признаки пирамид: в основании лежит многоугольник, боковые грани - треугольники, сходящиеся в одной общей вершине. Затем находятся признаки, которые отличают правильную пирамиду от неправильной.

Имея достаточный набор пирамид (по одной паре на парту), можно организовать наблюдения (и запись в тетрадях) по следующей форме (см. таблицу 1):

Таблица 1

Форма для записи наблюдений

Конечно, сводить результаты наблюдений в одну таблицу нет необходимости. Коллективное подведение итогов может быть организовано так. По вызову учителя ученики сообщают классу о результатах своих измерений (сначала в отношении правильных пирамид, затем неправильных). После нескольких ответов учитель спрашивает, каковы общие черты одноименных пирамид. Опрос продолжается. Еще после 2 - 3 ответов ребята делают вывод: правильные пирамиды обладают следующими общими свойствами: у них боковые грани одинаковые равнобедренные треугольники, а в основании лежит многоугольник с равными сторонами и равными углами.

«Подтверждается ли это наблюдение для остальных правильных пирамид?» спрашивает учитель у тех, кто еще не был опрошен. «У кого правильная пирамида не обладает такими признаками?» (В «спорных» случаях измерение повторяется вновь).

Рассматриваем точно так же результаты измерений неправильных пирамид (во избежание недоразумений правильные и неправильные пирамиды должны отличаться цветом). Выясняется, что равнобедренная форма граней, равенство сторон основания и равенство углов основания также могут наблюдаться у неправильных пирамид. (Правда, не одновременно), но эти признаки не являются обязательными для каждой такой пирамиды .

При изучении темы «Треугольники» можно рассматривать сечения треугольной формы куба, параллелепипеда и вообще призм. Для удобства проведения измерений лучше брать каркасные модели. При этом, кроме иллюстраций планиметрических понятий и опознания планиметрических объектов на стереометрических моделях, они могут быть использованы как своеобразные объемные чертежи к планиметрическим задачам. В самом деле, любой чертеж, помещенный в задачнике, можно показать в виде соответствующей грани или разреза стереометрической модели.

Особый интерес представляет рассмотрение двух или трех плоскостных объектов, которые не находятся на одной плоскости. Например, ученикам предлагается доказать, что основания треугольной призмы представляют собой равные треугольники. (Какие элементы оснований необходимо для этого сравнить? Какие возможны при этом варианты?).

Возможен и обратный ход мысли: создание пространственной ситуации после рассмотрения планиметрической задачи. Например, после решения задачи: в треугольнике АDС (рис. 2) . Что можно доказать? Выясняется, что равенство сторон АС и АD, а также отрезков СВ и ВD можно доказать и в случае, если и лежат в разных плоскостях (треугольник АСD сгибаем по линии AB).

И наоборот, вращая некоторые грани пространственной модели, превращаем пространственную задачу в плоскую. Рисунок 3, изображающий 2 треугольника АВС и АСD, причем АВ=7 см, ,, мог быть получен из двух граней пирамиды АВСD путем вращения боковой грани АСВ вокруг ребра АС. Другие 2 грани, не участвующие в задаче, можно на чертеже не показывать.

При изучении параллелограммов учитель демонстрирует параллелепипед и задает вопросы: «Являются ли параллелограммами грани модели параллелепипеда?», «Как показать, что противоположные ребра параллелепипеда, лежащие на одной грани, параллельны?» т. д.

При изучении темы «Частные виды параллелограмма» (прямоугольник, ромб, квадрат) учитель на этих уроках демонстрирует объемные наглядные пособия, на которых ученики наблюдают эти фигуры на телах и их сечениях. Путем измерений выясняется, чем куб отличается от прямоугольного параллелепипеда, а этот последний - от прямого и наклонного параллелепипедов.

Изучение понятия «трапеция» можно провести при помощи усеченной пирамиды, а также рассматривая трапециевидные сечения стереометрических тел. Задание доказать, что какое-то сечение или грань усеченной пирамиды имеют форму трапеции, приводит учеников к необходимости найти признак трапеции. Весьма удобны на стереометрических моделях практические работы, связанные с непосредственным измерением элементов плоской фигуры, например вычисление площади у трапеции.