Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы

Как мы только что выяснили, директрисы расположены вне эллипса. Отсюда вытекает, что точки эллипса и его центр расположены по одну сторону от каждой из его директрис.

Обозначим через р расстояние от фокуса эллипса до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра эллипса до директрисы равно а расстояни

е от центра эллипса до фокуса равно с, то р равно -с. Так как с = ае, то для р получаем следующее выражение

(1.27)

Докажем теорему, выясняющую важное свойство отличного от окружности эллипса и его директрис.

Теорема 1.1. Отношение расстояния ri от точки М эллипса до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы Di равно эксцентриситету е этого эллипса.

Доказательство. Пусть F1 и F2 - фокусы эллипса. Выберем декартову прямоугольную систему координат см. рис. 6.10. выше мы выяснили, что при таком выборе системы координат расстояния r1 и r2 от точки М(х,у) эллипса до фокусов F1 и F2 определяются формулами (1.6). Так как отношение -

равно эксцентриситету е этого эллипса, то для r1 и г2 мы получим выражения

r1 = a+ex, r2=а- ex.(1.28)

Найдем теперь расстояния di от точки М эллипса до директрис Di. Используя уравнения директрис Di (см. формулы (1.26)), легко убедиться в том, что нормированные уравнения директрис имеют вид

D1:= 0 D2: = 0 (1.29)

Так как точка М(х, у) эллипса и начало координат находятся по одну сторону от каждой из директрис, то расстояния d1 и d2 от точки М(х, y) до директрис D1 и D2 равны соответствующим отклонениям М(х, у) от D1 и D2, взятым со знаком минус, и мы получим (в силу (1.29)):

(1.30)

Используя формулы (1.28) и (1.30), найдем, что

Теорема доказана.

Директрисы гиперболы. Обозначим через с половину расстояния между фокусами F1 и F2 гиперболы, через а ее действительную полуось и через О ее центр (рис. 6.11). Пусть е - эксцентриситет этой гиперболы и - плоскость, в которой расположена гипербола. Мнимая ось гиперболы разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через i, (i=1,2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Fi (i=1,2).

Определение. Директрисой Di (i=1,2) гиперболы, отвечающей фокусу Fi (i=1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости i (i=1,2) перпендикулярно действительной оси гиперболы на расстоянии - от ее центра.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка FiF2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.11. Тогда, очевидно, уравнения директрис Di (i=1,2) гиперболы можно записать следующим образом:

уравнение директрисы Di:

уравнение директрисы D2:

Рис. 15

Директрисы гиперболы целиком расположены в области G, не содержащей точек. В самом деле, ранее мы убедились, что полоса G1 определяемая в выбранной системе координат Оху неравенством |х|<а, содержится в области G. Но эта полоса содержит директрисы гиперболы, так как, согласно (1.31), для точек директрис |x| =, либо для гиперболы е>1. Расположение директрис гиперболы указано на рис. 6.11.Следовательно, мы можем обосновать расположение директрис гиперболы, указанное на рис. 6.11. Очевидно, что точки левой (правой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по разные стороны от директрисы D1 (D2), а точки правой (левой) ветви гиперболы и ее центр О расположены по одну сторону от директрисы D1 (D2).

Обозначим через р расстояние от фокуса гиперболы до соответствующей этому фокусу директрисы. Поскольку расстояние от центра гиперболы до директрисы равно а расстояние от центра гиперболы до фокуса равно с, то . Так как с=ае, то для р получаем формулу

(1.32)

Докажем теорему, выясняющую важное свойство гиперболы и ее директрис.

Теорема 1.2. Отношение расстояния r1 от точки М гиперболы до фокуса Fi к расстоянию di от этой точки до отвечающей этому фокусу директрисы Di равно эксцентриситету е этой гиперболы.

Доказательство. Для доказательства этой теоремы нужно рассмотреть следующие четыре случая: 1) точка M находится на левой ветви гиперболы, исследуется фокус F1 и директриса D1, 2) точка М находится на правой ветви гиперболы, исследуется фокус F1 и директриса D1; 3) точка М на левой ветви, фокус F2, директриса D2; 4) точка М на правой ветви, фокус F2, директриса D2. Так как рассуждения для каждого из случаев однотипны, то мы ограничимся лишь первым случаем. Начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка FiF2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.11. Так как абсцисса х любой точки М(х, у) левой ветви гиперболы отрицательна, то расстояние r1 от этой точки до фокуса F1 согласно формулам (1.11), равно . Так как , то для r1 получим выражение

r1=(1.33)

Директриса D1 определяется первым из уравнений (1.31). Нормированное уравнение этой директрисы имеет вид

(1.34)

Так как точка М левой ветви гиперболы и начало координат находятся по разные стороны от директрисы DI,, то расстояние d1 от точки М до директрисы D1 равно отклонению М от D1 и мы получим (в силу (1.34) и теоремы 1.1):

.(1.35)

Используя формулы (1.33) и (1.35), найдем, . Для первого случая теорема доказана. Остальные случаи рассматриваются аналогично.

Рис. 16

Определение эллипса и гиперболы, основанное на их свойстве по отношению к директрисам.

Теоремы 1.1 и 1.2, доказанные в предыдущем пункте, выясняют свойство отличного от окружности эллипса и гиперболы, связанное с директрисами этих кривых. Убедимся в том, что это свойство эллипса и гиперболы может быть принято в качестве их определения. Рассмотрим в плоскости точку F и прямую D (рис. 6.12).Будем предполагать, что точка F не лежит на прямой D. Докажем следующее утверждение.