Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы

. Так как а + > 0,то r1 = а +.

Совершенно аналогично найдем, что r2= а -.

Таким образом, для рассматриваемой точки М

r1=

а+, r2= а - (1.6)

т. е. r1+r2=2a, и поэтому точка М располагается на эллипсе. Уравнение (1.4) называется каноническим уравнением эллипса. Величины а и Ь называются соответственно большой и малой полуосями эллипса (наименование «большая» и «малая» объясняется тем, что а>b). Если полуоси эллипса а и b равны, то эллипс представляет собой окружность, радиус которой равен R=a=b, а центр совпадает с началом координат.

4. Свойства эллипса

1°. Эллипс имеет две взаимно перпендикулярные оси симметрии (главные оси эллипса) и центр симметрии (центр эллипса). Действительно, в уравнении (1.4) величины х и у фигурируют в четных степенях. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.4) (т.е. точка М располагается на эллипсе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (-х, у) и (х, -у) симметричных ей точек относительно осей координат и координаты (-х, -у) точки, симметричной М относительно начала координат (рис. 7).

Таким образом, если эллипс задан своим каноническим уравнением (1.4), то главными осями этого эллипса являются оси координат, а центром эллипса - начало координат. Точки пересечения эллипса с главными осями называются вершинами эллипса. Точки А, В, С, D на рис. 7 - вершины эллипса. Очевидно, эти вершины имеют соответственно координаты

(-а,0), (0,b), (а,0), (0,-b).

Если эллипс представляет собой окружность, то любая прямая, проходящая через центр окружности, является осью симметрии. Отметим, что центром эллипса является точка пересечения главных осей

Рис. 7

Длины отрезков, образованных пересечением эллипса с главными осями, равны 2а и 2b. Так как 2a > 2b, то главная ось, образующая в пересечении с эллипсом отрезок 2а, называется большой осью эллипса. Другая главная ось называется малой осью эллипса.

Если эллипс задан уравнением (1.4), то при а>b большой осью будет ось Ох, а малой - ось Оу. При b>а большой осью будет ось Оу, а малой - Ох.

Фокусы эллипса располагаются на его большой оси.

2°. Эллипс содержится внутри прямоугольника |x|a,

|у|b (на рис. 6.4 этот прямоугольник не заштрихован). В самом деле, из канонического уравнения (1.4) вытекает, что и , Эти неравенства очевидно, эквивалентны неравенствам |x|a и |y|b.

3°. Эллипс может быть получен посредством равномерного сжатия окружности. Рассмотрим окружность (рис. 6.5), заданную уравнением

(1.16)

Произведем теперь равномерное сжатие плоскости к оси Ох, т.е. такое преобразование, при котором точка с координатами (х, у) перейдет в точку с координатами (), причем х=, а =. Очевидно, при этом преобразовании окружность (1.16) перейдет в кривую, определяемую уравнением

т. е. в эллипс.

5. Гипербола.

Рис. 8

Гипербола

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, для которых абсолютная величина разности расстояний до двух фиксированных точек Ft и F2 этой плоскости, называемых фокусами, есть величина постоянная.

Для вывода канонического уравнения гиперболы выберем начало координат в середине отрезка F1F2, а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.2. Пусть длина отрезка F1F2 равна 2с. Тогда в выбранной системе координат точки F1 и F2 соответственно имеют координаты (-с, 0) и (с, 0) Обозначим через 2а постоянную, о которой говорится в определении гиперболы. Очевидно, 2a<2с, т. е. а<.с.

Пусть М-точка плоскости с координатами (х, у) (рис. 6,2). Обозначим через r1 и r2 расстояния MF1 и MF2. Согласно определению гиперболы равенство

|r1 - r2| = 2a (1.7)

является необходимым и достаточным условием расположения точки М на данной гиперболе.

Используя выражения (1.2) для r1 и r2 и соотношение (1.7), получим следующее необходимое и достаточное условие расположения точки М с координатами х и у на данной гиперболе:

|(1.8)

Используя стандартный прием «уничтожения радикалов», приведем уравнение (6.8) к виду

(1.9)

где b2=a2-c2 (1.10)

Мы должны убедиться в том, что уравнение (1.9), полученное путем алгебраических преобразований уравнения (1.8), не приобрело новых корней. Для этого достаточно доказать, что для каждой точки М, координаты х и у которой удовлетворяют уравнению (1.9), величины r1 и r2 удовлетворяют соотношению (1.7). Проводя рассуждения, аналогичные тем, которые были сделаны при выводе формул (1.6), найдем для интересующих нас величин r1 и r2 следующие выражения:

а+, при x>0

r1= - а - , при х<0

- а+, при x>0

r2=

а - , при х<0 (1.11)

Таким образом, для рассматриваемой точки М имеем |r1-r2| =2а, и поэтому она располагается на гиперболе.

Уравнение (1.9) называется каноническим уравнением гиперболы. Величины а и b называются соответственно действительной и мнимой полуосями гиперболы.