Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы

производная функции (1,51), вычисленная в точке х, то уравнение касательной имеет вид

Учитывая, что точка М(х, у) лежит на эллипсе (т. е ее координаты х и у удовлетворяют уравнениям (1.51) и (1.4)), получим, после несложных преобразований, уравнение касательной к эллипсу в следующей форме-

для эллипса eight=41 src="images/referats/27969/image107.png">(1.56)

Рассуждая аналогично для случая гиперболы и параболы, получим следующие уравнения касательных к этим кривым:

для гиперболы

для параболы В предыдущих рассуждениях был исключен случай y=0. В соответствующих точках эллипса, гиперболы и параболы касательные вертикальны. Легко убедиться, что уравнения (1.56) - (1.58) справедливы и в этом случае. Отметим, что касательная к эллипсу имеет с ним только одну общую точку - точку касания Аналогичным свойством обладают касательные к гиперболе и параболе.

11. Фокальные свойства

Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы. Установим следующее оптическое свойство эллипса: лучи света, исходящие из одного фокуса F1 эллипса после зеркального отражения от эллипса проходят через второй фокус F2 (рис. 17). Геометрически указанное свойство означает, что отрезки MF1 и MF2 образуют с касательной в точке М эллипса равные углы.

Рис. 17

Допустим, что эллипс не обладает указанным свойством, т. е (рис. 17). Пусть F*1- зеркальное отражение фокуса F, относительно касательной К в точке М. Соединим F*1, с М и F2 Так как , то точка М* пересечения прямой F*1 F2 с касательной К не совпадает с точкой М Поэтому |F1 M*| +|F2M*| =| F*1F2| < |F1 M| +|F2 M|=2a.(1.59)

Рис. 18

Будем теперь перемещать точку М* по касательной К от точки М. При таком перемещении сyмма |F1M*|+|F2M*| неограниченно увеличивается. В начальный момент перемещения эта сумма, согласно (1.59), была меньше 2а. Поэтому в некоторый момент эта сумма будет равна 2а, а это означает, что на касательной K, кроме точки М, будет еще одна точка М* эллипса, отличная от М, но этого не может быть. Таким образом, указанное выше свойство эллипса действительно справедливо.

Совершенно аналогично устанавливаются следующие оптические свойства гиперболы и параболы: лучи света, исходящие из одного фокуса.F1 гиперболы, после зеркального отражения от гиперболы кажутся исходящими из другого ее фокуса F2 (рис. 19)

Рис. 19

1. лучи света, исходящие из фокуса параболы, после зеркального отражения от параболы образуют пучок, параллельный оси параболы (рис. 6 18).

Рис. 20

Оптические свойства эллипса, гиперболы и параболы широко используются в инженером деле. В частности, оптическое свойство параболы используется при конструировании прожекторов, антенн и телескопов.

Назовем фронтом волны точечного источника света F линию, для всех точек Q которой путь, проделанный световым лучом, пришедшим из источника F в точку Q. одинаков. Если волна, вышедшая из точечного источника F, не претерпевает отражений, то фронт ее, очевидно, будет представлять собой окружность. Если же указанная волна отражается от некоторой кривой L, то форма ее фронта меняется в зависимости от вида кривой L. Парабола обладает следующим замечательным свойством- фронт Ф отраженной от параболы волны, при условии расположения источника света в фокусе F параболы, представляет собой прямую, параллельную директрисе D этой параболы (рис. 6 18).

В самом деле, рассмотрим прямую Ф, параллельную директрисе D. Пусть Q - произвольная точка этой прямой. Из оптического свойства параболы вытекает, что, если FM падающий луч, приходящий после отражения в точку Q, то отраженный луч MQ перпендикулярен директрисе D. Обозначим через Р точку пересечения луча MQ с директрисой D. Очевидно, сумма |QM| + |MF| равна |QM| + |MP|( по определению параболы). Так как |QM| +|\MP|=d, где d- не зависящее от точки Q расстояние между прямыми Ф и D, то для любой точки Q линии Ф сумма |QM| + |MF| одна и та же (равна d) т. е. Ф-фронт отраженной волны.

12. Эллипс, гипербола и парабола как конические сечения

Эллипс, гипербола и парабола были известны греческим геометрам более 2000 лет назад. Первое, наиболее полное сочинение, посвященное этим кривым, принадлежит Аполлонию и относится к III веку до начала нашего летоисчисления. Аполлоний дал и названия этим кривым в связи с геометрической задачей о превращении данного прямоугольника в равновеликий прямоугольник с заданным основанием.

Древнегреческие математики изучали эти кривые, конечно, не при помощи аналитической геометрии, еще не существовавшей в ту эпоху, а методами той, уже широко в то время разработанной геометрии, которую теперь называют элементарной. Сами эти кривые первоначально греки получили как сечения прямого круглого конуса плоскостями, наклоненными под разными углами к его оси.

Проведем через центр окружности перпендикуляр к ее плоскости и возьмем на нем точку S. Прямые, соединяющие S с точками окружности, образуют конус. Рассмотрим сначала сечение конуса плоскостью π, пересекающей все его образующие и не перпендикулярной оси симметрии.

Впишем в конус два шара, касающиеся плоскости π в точках F1 и F2 (рис. 21)

Рис. 21

Пусть X – произвольная точка на линии пересечения конуса с плоскостью π. Проведем через X образующую SX и найдем точки Y1, Y2 ее пересечения с вписанными шарами. Тогда XF1=XY1, XF2=XY2 как отрезки касательных к шарам, проведенных из одной точки.

Следовательно, XF1 +XF2 =Y1Y2. Но Y1Y2 – это отрезок образующей, заключенный между двумя плоскостями, перпендикулярными оси конуса, и его длина не зависит от выбора точки X. Значит, линия пересечения конуса с плоскостью π является эллипсом. Отношение его полуосей зависит от наклона секущей плоскости и, очевидно, может принимать любые значения. Следовательно, любой эллипс может быть получен как центральная проекция окружности.

Аналогично доказывается, что если секущая плоскость параллельна двум образующим конуса, то в сечении получается гипербола (рис. 22).

Рис. 22

Наконец, рассмотрим случай, когда секущая плоскость параллельна одной образующей. Впишем в конус сферу, касающуюся этой плоскости π в точке F. Эта сфера касается конуса по окружности, лежащей в плоскости σ (рис. 23).