Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы

Рис. 23

Обозначим через l линию пересечения плоскостей π и σ. Возьмем произвольную точку X сечения конуса плоскостью π и найдем точку Y пересечения образующей SX с плоскостью σ и проекцию Z точки X на прямую l. Тогда XF=XY как касательные к сфере. С другой стороны, точки Y и Z лежат в плоскости σ

;, угол между XY и σ равен углу между образующей конуса и плоскостью, перпендикулярной его оси, а угол между XZ и σ – углу между плоскостями π и σ. В силу выбора плоскости π эти углы равны. Значит, XY =XZ как наклонные, образующие равные углы с плоскостью σ. Следовательно, XF =XZ, и точка X лежит на параболе с фокусом F и директрисой l.

Таким образом, всякая невырожденная кривая второго порядка может быть получена как сечение конуса. Поэтому такие кривые называют также коническими сечениями.

Надо сказать, что если вместо конуса будет цилиндр, то абсолютно такими же рассуждениями можно показать, что его сечением будет эллипс. Соответственно, эллипс может быть получен как параллельная проекция окружности.

Сферы, вписанные в конус и касающиеся секущей плоскости, называются сферами Данделена.

13. Законы Кеплера

Эти три закона движения планет относительно Солнца были выведены эмпирически немецким астрономом И.Кеплером в начале 17 века и поэтому названы законами Кеплера. Они сыграли большую роль в установлении И.Ньютоном закона всемирного тяготения и вошли в небесную механику в обобщенном и уточненном виде. В такой форме они описывают орбиты двух гравитационно - связанных небесных тел при отсутствии возмущений со стороны других тел (т.н. задача двух тел). Формулировка законов Кеплера в общем случае приведена далее:

1-й закон. В невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка (эллипс, парабола или гипербола), в одном из фокусов которой находится центр силы притяжения (или центр масс системы).

2-й закон (закон равных площадей). В невозмущенном движении площадь, описываемая радиус-вектором движущегося тела, измеряется пропорционально времени (в равные промежутки времени описывает равные площади).

3-й закон. В отличие от двух первых, применим только к эллиптическим орбитам. В обобщенном виде обычно формулируется так: квадраты периодов T1 и T2 обращения двух тел вокруг Солнца, помноженные на сумму масс каждого тела (соответственно M1 и M2), и Солнца (MS), относятся как кубы больших полуосей a1 и a2их орбит:

(1)

Однако необходимо сделать одно замечание. Для простоты часто говорится, что одно тело обращается вокруг другого, но это справедливо только для случая, когда масса первого тела пренебрежимо мала по сравнению с массой второго (притягивающего центра). Если же массы сравнимы, то следует учитывать и влияние менее массивного тела на более массивное. В системе координат с началом в центре масс орбиты обеих тел будут коническими сечениями, лежащими в одной плоскости и с фокусами в центре масс, с одинаковым эксцентриситетом. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). Причем в любой момент времени центр масс будет лежать на прямой, соединяющей центры тел, а их расстояния до центра масс r1 и r2 тел массой соответственно M1 и M2 связаны следующим соотношением: Перицентры и апоцентры (если орбиты замкнутые) своих орбит тела будут также проходить одновременно.

Движение по орбитам

1. Движение по круговой орбите

Хотя окружность является частным случаем эллипса (e = 0), описать движение тела по круговой орбите проще всего. В этом случае, согласно закону всемирного тяготения, на тело массой m, находящегося на расстоянии r от центрального тела массой М, действует сила притяжения

(G - гравитационная постоянная), которая уравновешивается центробежной силой F'=m*2*r , где  - угловая скорость тела m. Для кругового движения r не меняется, поэтому сила F остается постоянной по величине, а это означает, что и угловая скорость не меняется. Поскольку линейная скорость V=*r (также постоянна), то из равенства F=F' получится формула: VI = (5) Скорость VI получила название круговой, или первой космической скорости. Период Т, в течении которого тело m совершит полный оборот вокруг тела М, можно получить как частное от деления длины окружности радиуса r (2**r) на скорость VI , то есть T =

(6)

Если подставить в (5) и (6) массу и радиус Земли, то получим VI= 7.905 км/с и Т= 84.49 минуты. Однако, например, для орбиты станции "Мир" нужно взять r примерно на 400 км больше, чем радиус Земли, и тогда уже VI= 7.688 км/с и Т= 92.57 минуты. Для геостационарного спутника (Т = 24 часа) получится r = 42240.6 км и VI= 3.07 км/с. Для Луны (r = 380000 км) V = 1.024 км/с и Т ~ 27 суток, что близко к реальным средним значениям (орбита Луны не круговая).

2. Движение по эллиптической орбите

Рис. 24 - Параметры эллиптической орбиты

Для описания движения по эллиптической орбите необходим ряд специальных параметров На рис. 24 введены следующие обозначения: S - фокус эллипса, О - его центр, Р - перицентр, А - апоцентр, q = |SP| - расстояние в перицентре, a = |ОА| - большая полуось. Для произвольной точки В в момент времени t угол между ее радиус-вектором SB и направлением на перицентр SP - это истинная аномалия 

Теперь построим окружность радиуса а с центром в центре эллипса О и опустим перпендикуляр BN из точки В на линию апсид АР. Продолжение этого перпендикуляра пересечет окружность в точке B'. Угол при центре эллипса О между прямой OB' и линией апсид ОР называется эксцентрической аномалией Е. Как и истинная аномалия, Е измеряется от 0o до 360o в сторону движения.

Если обозначить через Т время полного оборота (период обращения) точки В по эллиптической орбите, то можно написать: 360o = n*T, или n=, где n - это средняя угловая скорость движущейся точки, которая называется средним движением. Теперь представим себе некую фиктивную точку B'', движущуюся по окружности радиуса а с постоянной угловой скоростью n и проходящую через точку P (перицентр) одновременно с обращающейся по эллиптической орбите точкой В. Угол М, образуемый радиус-вектором OB" этой фиктивной точки и направлением на перицентр ОР, называется средней аномалией и отсчитывается от 0o до 360o в направлении движения точки В. Очевидно, что для произвольного момента времени t среднюю аномалию можно выразить через среднее движение n и время прохождения перицентра: М = n*. E = M = 0o, а при t = (момент прохождения апоцентра) E = M = 180o.