Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы

Рис. 34

б) Обозначим через F′ точку, симметричную F относительно l. Выберем ту из точек F и F′, расстояние от которой до прямой l′ минимально (расстояние берется со знаком).

Рис. 35

Пусть это точка F. Расстояние от F до l&#

8242; обозначим через d. Тогда для любой точки P на прямой l расстояние до l′ не больше чем PF+d. А значит, требуемая в задаче разность всегда не превосходит d. С другой стороны, она равна в точности d, когда точка P лежит на перпендикуляре к l′, проведенном из точки F (рис. 5).Стоит также отметить, что если в п. а) прямая F1F2′ параллельна l, а в п. б) прямая l′ перпендикулярна l, то рассматриваемого максимума не существует (он достигается на бесконечности).

Задачи для самостоятельного решения.

1. Написать каноническое уравнение параболы, если расстояние фокуса от директрисы равно 10.

2. Определить координаты фокуса и уравнение директрисы параболы y=0.25x2.

3. Дана парабола y2=12x. Найти длину ее хорды, проходящей через точку М(8,0) и наклоненной к оси параболы под углом 60є.

4. Привести уравнение параболы x=y2-y+2 к каноническому виду и определить координаты ее вершин.

4. Зачетная работа.

Вариант 1.1. Составить каноническое уравнение эллипса по следующим данным:

a) расстояние между фокусами равно 24 и большая ось 26;b) эксцентриситет равен 0.6, расстояние между фокусами - 6.

2. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что расстояние между вершинами равно 8, расстояние между фокусами равно 10.

3. Составить каноническое уравнение параболы, зная, что парабола имеет фокус F(0,0) и вершину в точке O(0,0);

4. Дан эллипс 6x2+15y2=90. Найти уравнение гиперболы, вершины которой находятся в фокусах, а фокусы в вершинах данного эллипса.

5. Даны точка А(1,0) и прямая х = 2. В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка М(х,у) которой в два раза ближе к точке А, чем к данной прямой.

Вариант 2. 1. Составить каноническое уравнение эллипса по следующим данным:

a) большая полуось равна 10 и эксцентриситет равен 0,8;b) сумма полуосей равна 18 и расстояние между фокусами равно12.

2. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что действительная полуось равна 5, вершины делят расстояние между центром и фокусом пополам.

3. Составить каноническое уравнение параболы, зная, что фокус находится в точке F(5,0), директриса будет осью ординат и ось симметрии - ось абсцисс.

4. Составить уравнение траектории движения точки М(х,у), если в любой момент времени она остается равноудаленной от точки А(8, 4) и оси ординат.

5. Даны точка А(1,0) и прямая х = 2. В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка М(х,у) которой в два раза дальше от точки А, чем от данной прямой.

Вариант 3.1. Составить каноническое уравнение эллипса по следующим данным:

a) малая полуось равна 12 и эксцентриситет равен;b) расстояние между фокусами равно 8 и расстояние между директрисами 24.

2. Написать каноническое уравнение гиперболы, если известно, что эксцентриситет равен 5/3, расстояние между фокусами равно10.

3. Составить каноническое уравнение параболы, зная, что парабола симметрична относительно оси ординат Оу и проходит через точки О(0,0) и N(6, -2);

4. Найти длину диаметра эллипса , направленного по биссектрисе второго координатного угла. (Диаметром эллипса называется хорда, проходящая через центр - точку пересечения его осей.)

5. Даны точка А(1,0) и прямая х = 2. В декартовых координатах составить уравнение линии, каждая точка М(х, у) которой равноудалена от точки А и прямой х = 2.

В работе был разработан элективный курс по теме: « Кривые второго порядка», который предназначен для учащихся 10-11 классов.

После изучения научной и методической литературы материал отобран с учётом психологических особенностей учащихся старших классов и систематизирован для целостного изложения.

Содержание всех занятий позволяет углубить представление учащихся об эллипсе, гиперболе и параболе и ознакомить их с некоторыми, наиболее яркими свойствами замечательных кривых, приблизить их к пониманию некоторых важных идей современной математики.

В ходе написания работы были достигнуты следующие цели, поставленные в ведении: был проведен анализ учебников по геометрии за 10-11 классы с целью изучения места кривых второго порядка в курсе старшей школы. Как средство расширения кругозора учащихся и повышения интереса к предмету был разработан элективный курс, который направлен на расширение кругозора учащихся, развитие математического мышления, формирования активного познавательного интереса к предмету, формирования умения последовательно рассуждать, анализировать факты, обобщать их, формирования представления о прикладных возможностях математики, содействовать профессиональной ориентации учащихся.

При написании работы были поставлены следующие задачи:

1. Изучить психолого-педагогические особенности старшего школьного возраста для обоснования возможности обучения учеников кривым второго порядка.

2. Проанализировать учебную литературу (программа по математике, школьные учебники) с точки зрения рассматриваемого вопроса.

3. Обеспечить преемственность школьного материала и материала элективного курса

4. Обеспечить преемственность между общим и профессиональным образованием.

Все поставленные задачи при написании работы были достигнуты.