Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы

Автор вводит последовательно эллипс гиперболу и параболу. Эти кривые вводятся как геометрические места точек. Отталкиваясь от определений, автор приходит к каноническим уравнения. Далее водятся такие понятия как эксцентриситет, для эллипса и гиперболы, и директриса для параболы, и дается понятие кривой второго порядка «как мы видим, конические уравнения эллипса, гиперболы и параболы , как и окр

ужности x2+y2=R2, представляют собой уравнения второй степени относительно координат х и у. Поэтому они называются кривыми второго порядка». Автор дает также определение кривых как конических сечений, отталкиваясь при этом от значений эксцентриситета. Но свойства эллипса, гиперболы и параболы не даются. После данного параграфа предусмотрены вопросы для первичного закрепления материала, в числе которых есть несколько вопросов по кривым второго порядка, рассчитаны они на закрепление таких понятий как: определения эллипса, гиперболы и параболы как геометрического места точек, и связи между значением эксцентриситета и типами кривых.

Данный материал включен в раздел избранные вопросы планиметрии и является дополнительным.

В учебнике Е.В. Потоскуева и Л.И. Звавич за 11 класс, под научной редакцией А.Р. Рязановского (для классов с углубленном и профильным изучением математики) материал о кривых второго порядка дается в разделе дополнение в главе «О поверхностях второго порядка», в которой дается дополнительный материал по уже ранее изученным понятиям в курсе планиметрии. В этой главе кривые второго порядка водятся «как плоские сечения конической поверхности». Авторы выделяют три принципиально различных случая расположения секущей плоскости по отношению к конической поверхности вращения. Подробно рассматривая каждый из них авторы приходят к трем типам сечения и, опираясь на определения в курсе планиметрии доказывают что эти сечения являются эллипсом гиперболой и параболой и относят эти кривые к классу собственных, или невырожденных конических сечений. Свойства кривых второго порядка авторы не дают.

Таким образом, нами представлены наиболее распространенные способы введения кривых второго порядка в школе.

Проанализировав содержание курса математики в различных учебниках, можно сказать, что данная тема не является обязательной для изучения в старшей школе. К сожалению, школьный курс не позволяет рассмотреть эти кривые детально, как правило, даются только одно свойство каждой кривой, это фокальное свойство. Исходя из вышеперечисленного, мы считаем целесообразным создание элективного курса по теме «Кривые второго порядка».

Разработка элективного курса по теме: «Кривые второго порядка»

Опираясь на ранее описанный материал, считаем возможным использовать следующую структуру элективного курса:

1. Познакомить с историей изучения кривых;

2. Рассказать о способах образования кривых;

3. Определение эллипса, параболы, гиперболы, как геометрического места точек плоскости;

4. На основе определений вывести канонические уравнения кривых второго порядка;

5. Опираясь на каноническое представление показать основные свойства эллипса, гиперболы и параболы;

6. Ввести понятия «эксцентриситет», «директриса»;

7. Сформулировать определение эллипса, гиперболы, параболы на языке директрис;

8. Дать определение касательных к эллипсу гиперболе, параболе, формулы касательных, вывести формулы касательных;

9. Познакомить с фокальными свойствам кривых второго порядка;

10. Рассмотреть эллипс, параболу и гиперболу как конические сечения;

11. Познакомить учащихся с законами Кеплера, траекториями движения планет;

Примерное почасовое планирование

Всего 18 часов.

1. История изучения плоских кривых

Понятие кривой определилось в сознании человека в доисторические времена. Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света, очертания цветов и листья растений, извилистая линия берега реки и моря и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для постепенного установления понятия кривой.

Однако потребовался большой исторический период прежде чем люди стали сравнивать между собой формы кривых и отличать одну кривую от другой. Первые рисунки на стенах пещерного жилища, примитивные орнаменты, украшавшие домашнюю утварь, свидетельствуют о том, что люди научились уже не только отличать прямую от кривой, но и различать формы отдельных кривых и в их сочетаниях находить удовлетворение зарождающихся эстетических потребностей. Но всё это было ещё далеко от того абстрактного понимания кривой, которым располагает математика сейчас.

Правда, исторические памятники глубокой древности показывают, что у всех народов на известной ступени их развития имелось понятие окружности, не говоря уже о прямой линии. Употреблялись примитивные инструменты для построения этих линий и были попытки измерять площади, ограничиваемые прямыми и окружностью. Как видно, например, из древнейшего памятника математической культуры – «папируса Ринда», египтяне за 17 – 20 веков до начала нашей эры занимались квадратурой круга и получили довольно хорошее приближение для числа p, равное , или 3, 1604. Но лишь с возникновением математики как науки стало развиваться учение о кривых, достигшее в трудах греческих математиков высокого совершенства.