Разработка элективного курса по теме: "Кривые второго порядка" для учащихся старшей школы

Уравнение (1.15) называется каноническим уравнением параболы. Величина р называется параметром параболы.

8. Свойства параболы

Рис. 12

1°. Парабола имеет только одну ось симметрии (ось параболы), в отличии от эллипса и гиперболы. Точка пересечения параболы с осью называется вершиной параболы. Действительно

, в уравнении (1.15) величина у фигурирует в четной степени. Следовательно, если координаты х и у точки М удовлетворяют уравнению (1.15) (т. е. точка М располагается на параболе), то этому уравнению удовлетворяют координаты (х,-у) симметричной ей точки относительно оси Ох (рис. 6.8). Таким образом, если парабола задана своим каноническим уравнением (1.15), то осью этой параболы является ось Ох. Очевидно, вершиной параболы является начало координат.

2°. Вся парабола расположена в правой полуплоскости плоскости Оху. В самом деле, так как р>0, то уравнению (1.15) удовлетворяют координаты точек лишь с неотрицательными абсциссами. Такие точки располагаются в правой полуплоскости.

3°. Из рассуждений вытекает, что директриса параболы, определяемой каноническим уравнением (1.15), имеет уравнение (1.23)

4°. Любые две параболы подобны друг другу. Пусть у2 = 2рх и у2=2р*х - канонические уравнения этих парабол в декартовой системе Оху, y=kx - уравнение произвольной прямой, проходящей через О, а (х, у) и (х*,у*) - координаты точек пересечения этой прямой с параболами. Используя канонические уравнения, получим

Из последних формул вытекает, что , эти равенства означают подобие рассматриваемых парабол относительно точки О.

5°. Отметим, что кривая у2=2рх при р<0 также является параболой, которая целиком располагается в левой полуплоскости плоскости Оху. Чтобы убедиться в этом, достаточно заменить х на -х и -р на р.

9. Директрисы эллипса, гиперболы и параболы

Определение параболы, базировалось на свойстве этой кривой, которое связано с ее фокусом и директрисой. Это свойство можно сформулировать также и следующим образом: парабола есть геометрическое место точек плоскости, для которых отношение расстояния до фокуса к расстоянию до директрисы есть величина постоянная, равная единице.

Оказывается, отличный от окружности эллипс и гипербола обладают аналогичным свойством: для каждого фокуса эллипса или гиперболы можно указать такую прямую, называемую директрисой, что отношение расстояния от точек этих кривых до фокуса к расстоянию до отвечающей этому фокусу директрисы есть величина постоянная.

1. Эксцентриситет эллипса и гиперболы. Обратимся к эллипсу (гиперболе). Пусть с - половина расстояния между фокусами эллипса (гиперболы), а - большая полуось эллипса (действительная полуось гиперболы).

Определение. Эксцентриситетом эллипса (гиперболы) называется величина е, равная

e=(1.24)

Учитывая связь величины с с длинами а и b большой и малой полуосей эллипса (с длинами действительной и мнимой полуосей гиперболы) (см. формулы (1.5) и (1.10)), легко получить следующие выражения для эксцентриситета е:

для эллипса(1.25)

для гиперболы (1.25')

Из формул (1.25) и (1.25') вытекает, что эксцентриситет эллипса меньше единицы, а эксцентриситет гиперболы больше единицы

Отметим, что эксцентриситет окружности равен нулю (для окружности b= а).

Два эллипса (две гиперболы), имеющих одинаковый эксцентриситет, подобны. В самом деле, из формулы (1.25) для эксцентриситета эллипса (из формулы (1.25') для эксцентриситета гиперболы) вытекает, что эллипсы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение малой и большой полуосей (гиперболы с одинаковым эксцентриситетом имеют одинаковое отношение - мнимой и действительной полуосей). Такие эллипсы (гиперболы)" подобны

Эксцентриситет эллипса можно рассматривать как меру его «вытянутости»: чем больше эксцентриситет

Рис. 13

е (см. формулу (1.25)), тем меньше отношение - малой полуоси эллипса b

к его большой полуоси а. На рис. 6.9 изображены эллипсы с разными эксцентриситетами, но с одинаковой большой полуосью а.

Эксцентриситет гиперболы можно рассматривать как числовую характеристику величины раствора угла между ее асимптотами. В самом деле, отношение равно

тангенсу половины угла между асимптотами гиперболы.

Директрисы эллипса и гиперболы.

Рис. 14

1°. Директрисы эллипса. Мы выяснили, что любой, отличный от окружности, эллипс имеет большую и малую оси и центр - точку пересечения этих осей. Обозначим через с половину расстояния между фокусами F1 и F2 эллипса, через а его большую полуось и через О его центр (рис. 6.10).

Пусть е - эксцентриситет этого эллипса (так как эллипс отличен от окружности, то еО) и - плоскость, в которой расположен эллипс. Малая ось эллипса разбивает эту плоскость на две полуплоскости. Обозначим через i (i=1, 2) ту из этих полуплоскостей, в которой лежит фокус Fi (i=1, 2).

Определение. Директрисой Di (i=1, 2) эллипса, отвечающей фокусу Fi (i=1,2), называется прямая, расположенная в полуплоскости i (i = 1,2) перпендикулярно большой оси эллипса на расстоянии от его центра.

Выберем начало декартовой прямоугольной системы координат в середине отрезка F1F2. а оси Ох и Оу направим так, как указано на рис. 6.10. Тогда, очевидно, уравнения директрис Di (i=1,2) эллипс можно записать следующим образом:

уравнение директрисы D1: x = -

уравнение директрисы D2: х =

Директрисы эллипса расположены вне эллипса. Действительно, эллипс расположен в прямоугольнике |х|а, |у|b стороны которого перпендикулярны большой и малой осям эллипса.

Из определения директрис вытекает, что они параллельны двум перпендикулярным большой оси эллипса сторонам этого прямоугольника. Поскольку упомянутые стороны отстоят от центра эллипса на расстоянии а, а директрисы - на расстоянии >а (0<е<1), то директрисы расположены вне прямоугольника, а следовательно, и вне эллипса.