Алгоритмы в начальной школе и методика обучения алгоритмам

В случае, когда десятичные записи слагаемых имеют разное количество цифр, надо приписать к числу, имеющему меньшее количество цифр, несколько нулей впереди, уравняв количество цифр в обоих слагаемых. После этого применяется описанный выше процесс сложения.

В общем виде алгоритм сложения натуральных чисел, записанных в десятичной системе счисления, формулируют так:

записывают второе слаг

аемое под первым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

складывают единицы первого разряда. Если сумма меньше десяти ее записывают в разряд единиц ответа и переходят к следующему разряду (десятков);

если сумма единиц больше или равна десяти, то ее представляют в виде а0 + b0 = 1 • 10 + с0, где с0 — однозначное число; записывают с0 в разряд единиц ответа и прибавляют 1 к десяткам первого слагаемого, после чего переходят к разряду десятков;

повторяют те же действия с десятками, потом с сотнями и т.д. Процесс заканчивается, когда оказываются сложенными цифры старших разрядов. При этом, если их сумма больше или равна десяти, то впереди обоих слагаемых приписывают нули, увеличивают нуль перед первым слагаемым на 1 и выполняют сложение 1 + 0=1.

Заметим, что в этом алгоритме (как и в некоторых других) для краткости употребляется термин «цифра» вместо «однозначное число, изображаемое цифрой».

Алгоритм вычитания. Вычитание однозначного числа b из однозначного или двузначного числа а, не превышающего 18, сводится к поиску такого числа с, что b + с = а, и происходит с учетом таблицы сложения однозначных чисел.

Если же числа а и b многозначные и b < а, то смысл действия вычитания остается тем же, что и для вычитания в пределах 20, но техника нахождения разности становится иной: разность многозначных чисел чаще всего находят, производя вычисления столбиком, по определенному алгоритму. Выясним, каким образом возникает этот алгоритм, какие теоретические факты лежат в его основе.

Рассмотрим разность чисел 485 и 231. Воспользуемся правилом записи чисел в десятичной системе счисления и представим данную разность в таком виде: 485-231 = (4 • 102 + 8 • 10 + 5) - (2 • 102 + 3-10+1). Чтобы вычесть из числа

4 • 102 + 8 • 10 + 5 сумму 2 • 102 + 3 - 10 + 1, достаточно вычесть из него каждое слагаемое этой суммы одно за другим, и тогда:

(4- 102 + 8- 10 + 5)-(2- 102 + 3• 10 + 1) =

= (4- 102 + 8• 10 + 5) - 2 • 102 - 3 • 10 - 1.

Чтобы вычесть число из суммы, достаточно вычесть его из какого-либо одного слагаемого (большего или равного этому числу). Поэтому число

2 • 102 вычтем из слагаемого 4 • 102, число 3 • 10 — из слагаемого 8 • 10, а число 1 — из слагаемого 5, тогда:

(4-102 + 8 10 + 5)- 2•102- 3 10- 1 = (4 • 102 –

- 2 • 102) + (8 • 10 - 3 • 10) + (5 - 1).

Воспользуемся дистрибутивностью умножения относительно вычитания и вынесем за скобки 102 и 10. Тогда выражение будет иметь вид: (4- 2) • 102 + (8 - - 3) • 10 + (5 - 1). Видим, что вычитание трехзначного числа 231 из трехзначного числа 485 свелось к вычитанию однозначных чисел, изображенных цифрами соответствующих разрядов в записи заданных трехзначных чисел. Разности 4-2,

8 - 3 и 5 - 1 находим по таблице сложения и получаем выражение: 2 • 102 + 5 • 10 + 4, которое является записью числа 254 в десятичной системе счисления. Таким образом, 485-231 = 254. Выражение (4- 2)• • 102 + (8 - 3) • 10 + (5 - 1) задает правило вычитания, которое обычно выполняется столбиком:

_485

231

254

Видим, что вычитание многозначного числа из многозначного основывается на:

способе записи числа в десятичной системе счисления;

правилах вычитания числа из суммы и суммы из числа;

свойстве дистрибутивности умножения относительно вычитания;

таблице сложения однозначных чисел.

Нетрудно убедиться в том, что если в каком-нибудь разряде уменьшаемого стоит однозначное число, меньше числа в том же разряде вычитаемого, то в основе вычитания лежат те же теоретические факты и таблица сложения однозначных чисел. Найдем, например, разность чисел 760 - 326 по правилу записи чисел в десятичной системе счисления:

760 - 326 = (7 • 102 + 6 • 10 + 0) - (3 • 102 + 2 • 10 + 6).

Поскольку из числа 0 нельзя вычесть 6, то выполнить вычитание аналогичное тому, как было сделано в первом случае, невозможно. Поэтому возьмем из числа 760 один десяток и представим его в виде 10 единиц — десятичная система счисления позволяет это сделать — тогда будем иметь выражение: (7 • 102+ + 5 • 10 + 10) - (3 • 102 + 2 • 10 + 6). Если теперь воспользоваться правилами вычитания суммы из числа и числа из суммы, а также дистрибутивностью умножения относительно вычитания, то получим выражение (7 - 3) • 10 2 + (5 - 2) • 10 + + (10 - 6) или 4 • 102 + 3 • 10 + 4. Последняя сумма есть запись числа 434 в десятичной системе счисления. Значит, 760 - 326 = 434.

Рассмотрим процесс вычитания многозначного числа из многозначного в общем виде.

Пусть даны два числа х = а n •10 n + аn-1 • 10 n-1+ . + а0 и bn •10 n + bn-1 •

•10 n-1+ . + b0. Известно также, что у < х. Используя правила вычитания числа из суммы и суммы из числа, дистрибутивность умножения относительно вычитания, можно записать, что

х-у = (а n - bп) • 10 n + (а n - 1 - b n - 1) • 10n-1 + . + (а0 - b0). (1)

Эта формула задает алгоритм вычитания, но при условии, что для всех к выполняется условие ак > bк. Если же это условие не выполняется, то берем наименьшее к, для которого ак < Ьк. Пусть от — наименьший индекс, такой, что т > к и ат ≠ 0, а ат-1 = . = аk+1 = 0. Имеет место равенство ат • 10 m = = (ат- 1) • 10m + + 9 -10 m-1 + . + 9 • 10 k+1+ 10- 10 k (например, если m = 4, к = 1, ат = 6, то 6-104 = = 5- 104 + 9- 103 + 9 • 102 + 10 • 10). Поэтому в равенстве (1) выражение (ат — bт) • 10m + . + (ак-bк) • 10 k можно заменить на (ат-bт- 1) •10m + (9-bm-1) •

• 10 m-1 + . + (9-bк+1) • 10k+1 + (ак + 10-bк) • • 10 k. Из того, что ак< bк < 10, вытекает неравенство 0 < 10 + ак - bк < 10, а из того, что 0 < bs < 9, вытекает неравенство 0 < 9 - bs < 10, где k + 1 < s < m - - 1. Поэтому в записи х -у = (аn — bn) • • 10 n + . + (ат- bт- 1) • 10 m + (9- bm-1) •10m-1 + . + (9-bк+]) • 10k+1 + (ак + 10-bк) • • 10 k + . + (а0-b0) все коэффициенты с индексом, меньшим от, неотрицательны и не превосходят 9. Применяя далее те же преобразования к коэффициентам аn-- bn,…, аm-bm - 1, через п шагов придем к записи разности х-у в виде х-у=сn - - 10n + сп-1 • 10n-1 + . + с0, где для всех к выполняется неравенство 0 < ск < 10. Если при этом окажется, что сn = 0, то надо отбросить первые слагаемые, вплоть до первого коэффициента, отличного от нуля.

В общем виде алгоритм вычитания чисел в десятичной системе счисления формулируют так:

записывают вычитаемое под уменьшаемым так, чтобы соответствующие разряды находились друг под другом;

если цифра в разряде единиц вычитаемого не превосходит соответствующей цифры уменьшаемого, вычитают ее, из цифры уменьшаемого, записывают разность в разряд единиц искомого числа, после чего переходят к следующему разряду;